Question

已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x^2+y^2=10相交于P(3,-1)。若此圆过点P的切线【与双曲线的渐近线】平行

已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x^2+y^2=10相交于P(3,-1)。若此圆过点P的切线【与双曲线的渐近线】平行，求此双曲线的方程

Answer 1

设双曲线的半实轴，半虚轴分别为a,b,过点p的切线在y轴上的截距为d，则由圆心到切线的距离等于半径可得到（1）式，把p点坐标带到双曲线表达式中，得到式（2），又由点p在切线上得到式（3），解由（1），（2），（3）组成的方程组，得到a平方=80/9，b平方=80，所以双曲线的方程为x平方/a平方-y平方/b平方=1

Answer 2

解：OP的斜率=(-1-0)/(3-0)=-1/3
所以双曲线的渐近线斜率=3
设双曲线方程：x²/a-y²/b²=1
渐近线：y=±b/ax
所以b/a=3
9/a²-1/b²=1
联立，解得
a²=80/9，b²=80
此时焦点在x轴，双曲线9x²/80-y²/80=1
同理，焦点在y轴时
设双曲线方程：y²/a²-x²/b²=1
则a/b=3
1/a²-9/b²=1
方程无解，所以焦点在x轴