Question

几道高中数学题。。关于正弦定理的

1.在△ABC中，若根号3 a=2bsinA，则B=
2.在△ABC中，计算a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值.
3.海上有A,B两个小岛相距10海里，从A岛观测C岛与B岛成60°的视角，从B岛观测A岛和C岛成75°的视角，那么B岛与C岛之间的距离是多少海里？
4.在△ABC中，sinA=2sinBcosC,sin²A=sin²B+sin²C，试判断△ABC的形状
5.在三角形ABC中，C=2B，角BAC的平分线AD把三角形ABC的面积分成 根号3:1两部分，求证：△ABC是直角三角形

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Answer 1

1.在△ABC中，若(√3) a=2bsinA，则B=
解;a/sinA=2b/√3=b/(√3/2)=b/sinB,故sinB=√3/2, ∴B=π/3
2.在△ABC中，计算a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值
解：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)
=2acos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]+2bcos[(C+A)/2]sin[(C-A)/2]+2ccos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
=2acos(90°-C/2)sin[(A-B)/2]+2bcos(90°-B/2)sin[(C-A)/2]+2ccos(90°-C/2)sin[(A-B)/2]
=2asin(C/2)sin[(A-B)/2]+2bsin(B/2)sin[(C-A)/2]+2csin(C/2)sin[(A-B)/2]
=2sin(C/2)sin[(A-B)/2](a+c)+2bsin(B/2)sin[(C-A)/2]
=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)]/2](a+c)+2bcos[(C+A)/2]sin[(C-A)/2]
=(sinA-sinB)(a+b)+(sinC-sinA)b=a(sinA-sinB)
4.在△ABC中，sinA=2sinBcosC,sin²A=sin²B+sin²C，试判断△ABC的形状
解：由sinA=2sinBcosC得：
sin(B+C)=2sinBcosC,
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0, ∴B=C.
由sin²A=sin²B+sin²C得：
sin²(B+C)=sin²B+sin²C,∵B=C,∴有sin²2B=2sin²B, 4sin²Bcos²B=2sin²B
sin²B(2cos²B-1)=0, cos²B=1/2, cosB=√2/2, B=C=45°. A=90°
故△ABC是一个等腰直角三角形。
5.在三角形ABC中，C=2B，∠BAC的平分线AD把三角形ABC的面积分成 根号3:1两部分，求证：△ABC是直角三角形
证明：S△ABD/S△ACD=(1/2)AB×ADsin(A/2)/(1/2)AC×ADsin(A/2)=AB/AC=√3.
又由正弦定理，得 AC/sinB=AB/sinC=AB/sin2B=AB/(2sinBcosB)
故cosB=AB/(2AC)=√3/2, ∴B=30°.于是C=2B=60°,故A=90°
∴△ABC是直角三角形。