Question

一道分数估算的数学题，要求有简便方法，谢谢！

请在（）中，填入两个连续自然数
( ) < 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10 < ( )

Answer 1

这个题只有知道自然对数e是怎么来的就能轻易写出来了，算是常识吧，靠积累，积累是最简便的方法。

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+....+1/n的极限等于自然对数e
而e的值约等于2.718281828
所以( 2 ) < 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10 < ( 3 )

Answer 2

二楼结论是对的！
不过过程呵呵看以下：
欧拉常数的计算公式
欧拉常数(Euler-Mascheroni constant) 欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值。 学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下： 由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…） 于是调和级数的前n项部分和满足 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在，调和级数发散。 但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为 Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n) =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0 因此Sn有下界 而 Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)] =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1) 将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故 ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0 即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此 S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。 于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。

Answer 3

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10
=1+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10) +(1/7+1/9)
=2+3/8+3/10+16/63
(2)<......<(3)

Answer 4

主要过程........
1/2=0.5，1/3约为0.34，1/4=0.25，1/5=0.2，1/6约为0.17，1/7+1/8+1/9+1/10约为0.48（麻烦了，自己算吧）
1+0.5+0.34+0.25+0.2+0.17+0.48=2.94
又因为取得近似值所以小于3大于2

Answer 5

( 5 ) < 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10 < ( 6 )
中间值为(1+1/10)/2*10=5.5。