Question

如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C（0，3） （1）求抛物线的解析式

（2）设抛物线的顶点D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点M是抛物线上的一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标

Answer 1

(1) y = ax^2 + bx + c
代入A,B,C的坐标:
A: a -b + c = 0
B: 9a + 3b + c = 0
C: c = 3
a = -1, b = 2, c = 3
y = -x^2 + 2x + 3

(2) y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 +4
D(1, 4)
抛物线对称轴为x = 1
P是C的以x = 1为对称轴的对称点时, |DC| = |DP|, △PDC是等腰三角形
P的横坐标为2, P(2, 3)

(3) BC斜率k1 = (3-0)/(0-3) = -1
CD斜率k2 = (4-3)/(1-0) = 1
k1*k2 = -1
BC与CD垂直, DM与CB平行, DM斜率-1, 方程为 y - 4 = -(x -1) (点斜式)
y = -x + 5 = -x^2 + 2x + 3
x^2 -3x + 2 = 0
(x-1)(x-2) = 0
x = 1 (顶点D, 舍去)
x = 2
与抛物线交点M(2, 3)