Question

设复数z满足2|z-3-3i|-|z|=0，求|z|的最大值和最小值

Answer 1

2|z-3-3i|=|z|
几何含义就是
复数z在复平面内对应的动点A (a,b)同定点B(0,0)之间距离，等于它到定点C(3,3)距离的2倍。
即|AC|=|AB|/2 |BC|=3根号2
因为 |AC|+|AB|>=|BC|, |AB|-|AC|<=|BC| ,即|3|AB|/2>=3根号2,|AB|>=2根号2，
且|AB|/2<=3根号2,|AB|<=6根号2,即,2根号2=<|AB|<=6根号2,
即2根号2=<|z|<=6根号2,
也可设z=x+yi，代入2|z-3-3i|=|z|，得(x^2+y^2)=4[(x-3)^2+(y-3)^2],整理得，(x-4)^2+(y-4)2=(2根号2)^2,
即z在复平面内对应点轨迹为以点M(4,4)为圆心，半径为R=2根号2的圆，|z|就是圆上的点到原点的距离，
2根号2=4根号2-2根号2<=|MO|-R<=|z|<=|MO|+R=4根号2+2根号2=6根号2，（O为原点）
即|z|的最大值为2根号6，最小值为2根号2

Answer 2

设z=a+bi
则2|z-3-3i|-|z|=0
即(a^2+b^2)=4[(a-3)^2+(b-3)^2]

几何含义就是
点A (a,b)同点B(0，0)之间距离，等于它到点C（3，3）距离的2倍。

即AC=AB/2 BC=3√2
因为 AC+AB>=BC
AB-AC<=BC
所以得 2√2=<AB<=6√2
AB即为|z|

这叫数形结合的思想。解题的主流思想之一