Question

求微分方程通解的疑问

求微分方程通解的疑问
例如一个微分方程： dy/dx=2xy
书上写通过两端求解可以得到 ln|y|=x^2 + c1 -----(这里c1中的1是一个小1， 在c的右下角)
最后是 y=+- e^(c1)e^(x^2)
这个时候书上说 +- e^(c1) 是任意非0常数，----这句我懂
y恒等于0 是dy/dx=2xy 的解-----这里是为什么 而且我怎么觉得这句话不影响结果？

最后结果是y=Ce^(x^2) C 是表示常数的那个C

Answer 1

这个是奇解问题，在非相关专业是不要求的，如果是学习常微分方程的课程可以继续往这章的后面看，会专门讲奇解的特性，在讲利亚普诺夫第二方法的时候还会给出奇解的物理和工程学意义，非常重要但是不用着急，越学到后面理解会越深刻。
如果学的是通用高等数学的话我来直观描述一下这个y==0的含义（但是无需掌握，这个不在教学大纲和考研大纲的要求内）：微分方程的通解是某一类曲线或者叫做一族曲线，这个概念可以理解为解析表达式会含有待定常数，如果这个待定常数变成变量的话，曲线也会在坐标轴上移动，所以会形成一族曲线。
而在我们解方程的时候，经常会碰到某一个非常特殊的解，它不能用通解的解析式来描述，但是却符合通解方程，这个解的曲线就显得非常特殊，叫做奇解。如果把奇解和通解画到坐标轴上，就能够发现任意一个通解都会与奇解相切，因此奇解的曲线又被叫做包络线。奇解的求解过程极为复杂，甚至很多不搞微分的数学专业的学生都不会研究这个东西，在高数之中更是无需求奇解的。
书上说的y==0也是原方程的解就是为了说明这一点，通解的解析式并非能够表示方程的所有解。

Answer 2

两端积分的时候把Y除到了左端，自然要把等于0的情况排除，最后就要验证一下0到底是不是求出的该微分方程的解，所以就有这么一句

追问

这样的话， y=0 其实对于任何方程都可以有 y=0 ? y若是0 ， 那么y'也是0， 最后不管后面的怎么写， 只要乘以了0， 都是0了？

Answer 3

你看，这个很简单啊。我们所说的解通常是包括特解和通解的（还有既不是通解也不是特解的呢）。你的题目的要求就是求通解，但是通解不可能代表所有的解，有的时候特解就不能用通解表示（这一点很重要）。你的这个就是，的确有时候不影响结果，但是题目如果要求求解的话，这个Y=Ce^(x^2),就不是一个完整的答案了。不知道说的是否对你有帮助。