Question

已知圆O1与圆O2都过点A，AO1是圆O2的切线，圆O1交O1O2于点B，连接AB并延长交圆O2于点C，连接O2C，求证AB乘

Answer 1

取AB中点D,连接O1D,
因为O1A=O1B,所以，∠AO1D=∠BO1D,
因为AO1是圆O2的切线，所以AO1⊥AO2,
因为∠O1AO2=∠BAO2+∠BAO1=∠BAO1+∠AO1D=90度，
所以∠BAO2=∠AO1D=∠BO1D。
因为AO2=CO2,所以∠BAO2=∠BCO2=∠BCO2=∠BO1D,又∠DBO1=∠O2BC,
所以△DBO1∽ △∠O2BC ，DB/O2B=O1B/CB,
DB*CB=O1B*O2B,
因为DB=AB/2,所以
（AB/2)*CB=O1B*O2B,
即AB*CB=2O1B*O2B

Answer 2

△∵∴⊥∥∠⊙≌∽°
辅助线：延长BO1交O1于点D；
（1）O2C⊥O1O2；
∵BD是直径
∴∠BAD=90°
∵AO1是圆O2的切线
∴O2A⊥O1A
∴∠O2AB=∠ADB（弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角）
∵O2A=O2C=半径
∴∠O2AB=∠O2CB
∴∠O2CB=∠ADB
再加上一组对顶角相等；
∴△CBO2∽△DBA
∴CO2B=90，O2C⊥O1O2；

（2）AB*BC=O2B*BD
我们上面已经证明了△CBO2∽△DBA，根据对应边成比例则有：
BC/O2B=DB/AB
而DB=2BO1（直径与半径的关系）将其代入上式，并十字相乘变形，即可得出结论。

（3）如果AB*BC=12,O2C=4，求AO1的长
根据圆割线定理，在上图中有如下关系：
O2B*O2D=O2A*O2A
O2D=O2B+BD代入上式后：
O2B*（O2B+BD）=O2A*O2A，
变形打开括号后：O2B*O2B+O2B*BD=O2A*O2A，
上列式子中，已知O2A=O2C=4；O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12；仅有O2B是未知，代入即可求得O2B
O2B*O2B+12=16
解得O2B=2
将O2B=2再代入O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12中，得出BD=6，则O1A=3