Question

高中数学难题

已知圆O的半径为R,若它的内接三角形ABC中,2R×((sinA)^2-(sinC)^2)=(√2a－b)×sinB,求
(1)C得大小,
(2)△ABC面积的最大值
要过程啊

Answer 1

解析：
1、∵ 题目满足 2R×((sinA)^2-(sinC)^2)=(√2a－b)×sinB，
又由正弦定理可得 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，
代入上式可得 a²-c²+b²=√2 ab，
由余弦定理可得 cosC=(a²+b²-c²)/2ab =√2/2，
所以∠C=45°。
2、由上一问可知 c=√2R，
面积最大的时候也就是△ABC是等腰三角形且AC=BC的时候，
此时有 高=R+√2R/2=(1+√2/2)R，
所以面积最大为 S=1/2*(√2R)(1+√2/2)R，
即 (1+√2)R² / 2 .

希望可以帮到你、
不明白可以再问、

Answer 2

解：
根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R将2R×((sinA)^2-(sinC)^2)=(√2a－b)×sinB全化成边值
a^2-c^2=(√2a－b)*b
c^2=a^2+b^2-2*(√2 /2) ab
根据余弦定义c^2=a^2+b^2-2 ab cosC得到
cosC=√2 /2 (0<C<π)
C=π/4

根据正弦定理推论
三角形面积S=2sinA.sinB.sinC R^2
=2sinAsin(3π/4-A)sin(π/4) R2
=(cos(3π/4-2A)-cos(3π/4))*(√2 /2)R^2
当3π/4-2A=0取最大值
=(1+√2 /2)*(√2 /2)R^2
=[(1+√2)/2] R^2

Answer 3

解：c=2RsinC a=2RsinA b=2RsinB
所以 2R×((sinA)^2-(sinC)^2)=(2√2RsinA -2RsinB）)×sinB
sin²A-√2sinAsinB+sin²B=sin²C=sin²(A+B)=(sin²Acos²B+2sinAcosAsinBcosB+cos²Asin²B
所以 2sin²Asin²B-√2sinAsinB=2sinAcosAsinBcosB
因为 sinAsinB≠0 所以 2sinAsinB-2cosAcosB=√2 所以 cos（A+B）=-1/2
所以 A+B=3π/4 所以 C=π/4
2)由正弦公式 a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以 S=absinC/2=√2R²sinAsinB=√2R²sinAsin（3π/4-A）=√2R²sinA（√2/2cosA+√2/2sinA）=R²（sinAcosA+sin²A）=R²[-(1-2sin²A)/2+1/2+2sinAcosA/2]=R²(-cos2A+sin2A+1)/2=R²(√2sin(2A-π/4）+1）/2≥R²（√2+1）/2

Answer 4

1
a=RsinA, b=RsinB, c=RsinC
2R^2sinA^2-2R^2sinC^2=RsinB((√2a－b)
2a^2-2c^2=√2ab－b^2
a^2-c^2=√2ab-b^2
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=√2/2
C=π/4
2
S=absinC/2=R^2 sinAsinBsinC/2
2sinAsinB=cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]=cos[(A-B)/2]-sinC
S=R^2[cos[(A-B)/2]-sinC]sinC/4
A=B时,S最大=R^2(1-√2/2)√2/8

Answer 5

(1)由正弦定理可知
sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R
（定理证明：过B点作一直径，另一端点H，在直角三角形ABH中，∠BHA=∠C,
sin∠BHA=AB/2R)
代入题目中的式子2R×((sinA)2/-(sinC)2/)=(√2a－b)×sinB
计算化简一下 ： c^2/=a^2+b^2-√2ab
由余弦定理可知：
cosC=(a^2+b^2-c^2)/ab (这里就不证明了)
将c^2=a^2+b^2-√2ab 代入上式
cosC=(a^2+b^2-a^2-b^2+√2ab)/ab =√2/2
∠C=45°

(2) 三角形的面积 S=1/2*a*b*sinC=√2/4 *ab
由正弦定理可知
sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2R 那么 a=2RsinA ,b=2RsinB
所以
S=√2/4 *ab=√2R^2 *sinAsinB
=√2/2R^2*[COS(A-B)+COS(A+B)] (三角函数 积化和差公式)
又因为 A+B=135° （C=45°） 所以COS(A+B)=- √2/2
S=√2/2R^2*[COS(A-B)-√2/2]
要是 面积最大 即 COS(A-B) 最大
最大时 COS(A-B)=1 (COS0=1)
A=B
此时面积 =√2/2R^2*（1-√2/2） =(√2-1)/2 * R^2

Answer 6

1、C=45度或Pi/4
2、

追问

过程啊,大哥

追答

2、((根号2)+1)/4 * R * R