Question

1.设A={1,2,3,4}，在2^A中规定二元关系~：S~T⇔S，T含有元素个数相同，证明这是一个等价关系。

这里的2^A表示A的幂集合，即由A的全部子集为元素构成的集合。
近世代数题目

Answer 1

解：R是自反的：因为<x，y>R<x，y>⇔x+y=x+y。

R是对称的：因为<u，v>R<X，y>时一定有<x，y>R<u，v>。

R是可传递的：假设<x，y>R<u，v>和<u，v>R<l，m>来证明<x，y>R<l，m>。

因为x+v=y+u及u+m=v+l，两式两边相加得x+v+u+m=y+u+v+l，整理得x+m=y+l问题得证。

现在来求由此等价关系导致的划分：为此先求AXA

AXA={<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>

<2，1>，<2，2>，<2，3>，<2，4>

<3，1>，<3，2>，<3，3>，<3，4>

<4，1>，<4，2>，<4，3>，<4，4>}

定义

设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀a∈A,=>(a,a)∈R。

对称性：(a,b)∈R∧a≠b=>(b,a)∈R。

传递性：(a,b)∈R,(b,c)∈R=>(a,c)∈R。

则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系，若(a,b)∈R，则称a等价于b，记作a~b。

Answer 2

这个利用等式的性质是显然的。
见参考资料