Question

跪求一道初中数学竞赛题的答案，题目如下：

已知正整数x、y使得是4xy/(x+y)一个奇数，证明：存在一个正整数k，使得4k-1整除4xy/(x+y)。

Answer 1

显然x.y同奇偶，可以得到若他们是偶数，那么它们的含有的素数2的次数是一样的，设x=2^s*p,y=2^s*q,s≥0,p,q为奇数，原式等于4*2^[2s]*pq/2^s[p+q]=4*2^s*pq/[p+q],为了是奇数，设p+q=4*2^s*r,p-q=2t,原式=2^[2s+2]r-t²/r=奇数，设t²=rm,由于t²模4余1，所以r,m模4同余，即它们要么模4余1，要么模4余-1，①模4余1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4)②模4余-1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4），可见这个奇数若存在总是模4余1的，在题目中取k=n,必有4k-1整除4xy／x+y。

Answer 2

显然x.y同奇偶，可以得到若他们是偶数，那么它们的含有的素数2的次数是一样的，设x=2^s*p,y=2^s*q,s≥0,p,q为奇数，原式等于4*2^[2s]*pq/2^s[p+q]=4*2^s*pq/[p+q],为了是奇数，设p+q=4*2^s*r,p-q=2t,原式=2^[2s+2]r-t²/r=奇数，设t²=rm,由于t²模4余1，所以r,m模4同余，即它们要么模4余1，要么模4余-1，①模4余1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4)②模4余-1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4），可见这个奇数若存在总是模4余1的，在题目中取k=n,必有4k-1整除4xy／x+y。
http://hi.baidu.com/%CF%B2%BB%B6%CA%FD%D1%A7%B0%C9/blog/item/c837af22053cfb44925807bc.html
网上转的

Answer 3

显然x.y同奇偶，可以得到若他们是偶数，那么它们的含有的素数2的次数是一样的，设x=2^s*p,y=2^s*q,s≥0,p,q为奇数，原式等于4*2^[2s]*pq/2^s[p+q]=4*2^s*pq/[p+q],为了是奇数，设p+q=4*2^s*r,p-q=2t,原式=2^[2s+2]r-t²/r=奇数，设t²=rm,由于t²模4余1，所以r,m模4同余，即它们要么模4余1，要么模4余-1，①模4余1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4)②模4余-1，得到=2^[2s+2]r-rm=4n-1(mod4），可见这个奇数若存在总是模4余1的，在题目中取k=n,必有4k-1整除4xy／x+y。
呵呵呵~~~ copy LS的

Answer 4

因为4xy/(x+y)等于4乘以xy/(x+y)，而无论4乘以奇数还是偶数其结果都为偶数，因此xy/(x+y)必定是一个分数，并且分母能与4约分，分子为奇数，而能与4约分的数只有2和4，但如果是2也不成立，因为约分之后是2乘以xy/(x+y)，其结果也是偶数，所以分母就只能为4，所以这样x与y的取值只有三种情况1、1或2、2或1、3，其中只有1、3这一组满足分子为奇数的条件，所以4xy/(x+y)的值就是3，那么这个正整数K等于3的倍数+1的和除以4就满足条件。比如1或4。

Answer 5

就是前面几个说的 没其他方法 我做过