Question

已知x、y是实数，且适合方程（x²+xy-12）²+（xy-2y²-1）²=0.求x、y的值.

Answer 1

因为（x²+xy-12）²≥0，
（xy-2y²-1）²≥0，
且（x²+xy-12）²+（xy-2y²-1）²=0
所以当且仅当（x²+xy-12）²=0，
（xy-2y²-1）²=0，原式才成立

所以x²+xy-12=0，xy-2y²-1=0
xy=12-x²=2y²+1，所以x²+2y²=11
所以x²+y²=11-y²---------------------（1）
因为x²+xy-12=0，xy-2y²-1=0
所以x²+xy-12+xy-2y²-1=0，即（x+y）²=3y²+13------------（2）
因为x²+y²=11-y²，所以（x-y)²=x²-3y²-2=9-5y²------------（3）
根号（2）-根号（3）
根号（3y²+13）-根号(9-5y²)=2y
两边平方
3y²+13+9-5y²-4y²=2根号（（3y²+13）*（9-5y²））
22-6y²=2根号（（3y²+13）*（9-5y²））
两边平方
（22-6y²）²=4（3y²+13）*（9-5y²）
解得y²=1或1/6
所以x=3,y=1
x=-3,y=-1
x=根号（32/3），y=根号（1/6）
x=-根号（32/3），y=-根号（1/6）