n次根号下n 用夹逼准则怎么证明极限存在?
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令 t = n^(1/n) - 1 ，由 n^(1/n) > 1 ，可得：t > 0 ；
则有：n = (1+t)^n = 1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2 ，
可得：t^2 < 2/(n+1) ；
所以，0 < t < √[2/(n+1)] ，
即有：0 < n^(1/n) - 1 < √[2/(n+1)] 。
已知，lim(n->∞) √[2/(n+1)] = 0 ，
由夹逼定理可得：lim(n->∞) [ n^(1/n) - 1 ] = 0 ，
所以，lim(n->∞) n^(1/n) = 1 。
则有：n = (1+t)^n = 1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n > n(n+1)t^2/2 ，
可得：t^2 < 2/(n+1) ；
所以，0 < t < √[2/(n+1)] ，
即有：0 < n^(1/n) - 1 < √[2/(n+1)] 。
已知，lim(n->∞) √[2/(n+1)] = 0 ，
由夹逼定理可得：lim(n->∞) [ n^(1/n) - 1 ] = 0 ，
所以，lim(n->∞) n^(1/n) = 1 。
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