Question

已知1993^(1993+a)+1994^(1994+b)能被5整除，其中1≤a≤2,1≤b≤3.求a,b的值

Answer 1

当 a = 1 时，1993^(1993+a) 的个位数字是 9 ；
当 a = 2 时，1993^(1993+a) 的个位数字是 7 。

当 b = 1 时，1994^(1994+b) 的个位数字是 4 ；
当 b = 2 时，1994^(1994+b) 的个位数字是 6 ；
当 b = 3 时，1994^(1994+b) 的个位数字是 4 。

要使1993^(1993+a)+1994^(1994+b)能被5整除，其中1≤a≤2，1≤b≤3，
必须1993^(1993+a) 的个位数字为 9 ，1994^(1994+b) 的个位数字为 6 ；
可得：a = 1 ，b = 2 。

追问

你是根据什么推断出1993^(1994)的末位数字是9的?1993^(1996)的末位数字是7的?余类同。均要过程。

追答

1993^n（n = 1、2、3、4、5、6、……）的尾数是 3、9、7、1、3、9、……，即有：当n除以4余数为1时的尾数是3，n除以4余数为2时的尾数是9，n除以4余数为3时的尾数是7，n除以4整除时的尾数是1。

1994^n（n = 1、2、3、4、……）的尾数是 4、6、4、6、……，即有：当n为奇数时的尾数是4，n为偶数时的尾数是6。

追问

请检查一下，当a=1，b=1,3是否也是解？当a=2呢？

追答

当a=1，b=1时，9+4的尾数是3，不能被5整除；
当a=1，b=2时，9+6的尾数是5，能被5整除（只有这种情况满足）；
当a=1，b=3时，9+4的尾数是3，不能被5整除；
当a=2，b=1时，7+4的尾数是1，不能被5整除；
当a=2，b=2时，7+6的尾数是3，不能被5整除；
当a=2，b=3时，7+4的尾数是1，不能被5整除。

追问

有人按二项展开式分析，他认为：既然知道5|[1993^(1993+a)+1994^(1994+b)]，那么用二项展开式只需考虑5|[3^1993+4^1994],而3的奇次幂的末位数字是7或1。3的偶次幂的末位数字是9或1。所以只要3^(1993+a)+4^(1994+b)的和的末位数字有0或5，a，b的取值都算正确。于是他的答案是：当a=1时，b=1,2,3。当a=2时,b=1.你对这一解答的看法是什么？

追答

要用二项展开式的话，必须是：(1993+a)^1993+(1994+b)^1994 ，和本题不同，所以是他审题错了。