Question

△ABC中，AB=AC，过点A的直线与△ABC的外接圆O交于点D，与BC的延长线交于点F，DE是BD的延长线，连接CD。

求证：（1）DF平分∠EDC；（2）AF^2-AB^2=AF*DF。

Answer 1

1)
因为：A,B,C,D共圆，AB=AC
所以：∠CDF=∠ABC，∠ACB=∠ABC
因为：∠ADB=∠ACB（AB圆周角），∠ADB=∠EDF（对顶角）
所以：∠CDF=∠EDF
所以：DF平分∠EDC
2）
∠ACF=∠ADC=180-∠C
∠CAD公用
所以：△ADC∽△ACF
所以：AD/AC=AC/AF
所以：AC^2=AD*AF
因为：AB=AC，AD=AF-DF
所以：AB^2=AF(AF-DF)=AF^2-AF*DF
所以：AF^2-AB^2=AF*DF

Answer 2

（1）由圆周角相关定理可知∠ACB=∠ADB，∠ABC+∠ADC=180°，又∠FDC+∠ADC=180°，∴∠FDC=∠ABC；由AB=AC得∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠FDC；由对顶角相等可知∠ADB=∠EDF，∴∠EDF=∠ACB=∠FDC，∴DF平分∠EDC
（2）∠ADC=∠ADB+∠CDB=∠ACB+∠CAB=∠ABC+∠CAB ①，在△ABC中由外角定理∠ACF=∠ABC+∠CAB ②，由①②得到∠ACF=ADC，∴△ACF∽△ADC，∴AC / AD = AF / AC ，∴AC^2 = AF * AD = AF * ( AF - DF ) = AF^2 - AF * DF，又AC^2 = AB^2，∴AF^2-AB^2=AF*DF