Question

一道高等代数的问题，求解。

设A与B都是n阶方阵.证明: 如果AB = O, 那么
秩A + 秩B ≤ n .

Answer 1

因为AB=0，所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论，AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(A)。而B的列向量组是解空间的一部分，所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤ n-r(A)，所以r(B)≤ n-r(A)，从而r(A)+r(B)<=n。

Answer 2

A+B=SB