Question

数列Sn=(3n+1)/2-(n/2)an

求{an}都为正 Sn=(3n+1)/2-(n/2)an an为第n项 （n为角标）
an 通项
及∑1/(an-1)
有能里的下题也做一下
三角形ABC ，tanAtanB=tanBtanC+tanAtanC
求（a^2+b^2）/c^2

Answer 1

解：
Sn=(3n+1)/2-(n/2)an
当n=1时，a1=4/3=1+1/3=1+1/[1*(1+2)]
当n=2时，a2=13/12=1+1/[2*(1+2+3)
当n=3时，a3=31/30=1+1/[3*(1+2+3+4)
因此，可以猜想，an=1+2/[n(n+1)(n+2)]
然后再用数学归纳法证明，因为方法很机械，但又太烦了，而且你也不需要详细，我就省略了。
an-1=1+1/[n(n+1)(n+2)]-1=2/[n(n+1)(n+2)]
1/(an-1)=n(n+1)(n+2)/2
设数列bn=1/(an-1)＝n(n+1)(n+2)/2
n(n+1)(n+2) =1/2*[3!*C(n+2,3)]
Sbn =1/2*[3!*C(n+2,3)]
Sbn=1/2*{3!*[ C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+……+C(n+2,3)] }
=3!*C(n+3,4) /2
=3!(n+3)!/4!(n-1)!/2
=(n+3)(n+2)(n+1)n/8

解：
tanAtanB=tanAtanC+tanBtanC
sinA/cosA * sinB/cosB =sinA/cosA * sinC/cosC + sinB/cosB * sinC/cosC
sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
代入，得
sinA=a/(2R),sinB=b/(2R),sinC=c/(2R)
abcosC/(4R^2)=accosB/(4R^2)+bccosA/(4R^2)
abcosC=accosB+bccosA
根据余弦定理,可得
cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
代入，得
ab(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=ac(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+bc(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
a^2+b^2-c^2=a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2
a^2+b^2=3c^2
(a^2+b^2)/c^2=3

追问

问一为什么刚开始前几项会这样猜想
敢问两道都用多少时间，我都想了好久

追答

三角形那题所花时间不多，数列那题我也想了很久，其实我在草稿上算到了A6,同时还从题目中求1/(an-1)中也可以设想为什么要an－1,说明an中可能有＋1项，然后从中找到了这一规律。
有时从所求中思考也不失为一条解决问题的捷径！

Answer 2

由题，Sn-1=(3n-2)/2-(n-1)/2*an
所以，an=Sn-Sn-1=3/2-(n/2)an+(n-1)an/2
整理得，（2+n）an=(n+1)an-1+3
∴4a2=3a1+3
5a3=4a2+3
6a4+5a3+3
…………
（2+n）an=(n+1)an-1+3 （n>1） (1)
上式左右分别相加，再相消
（2+n）an=3a1+3(n-1)
当n=1时，a1=s1=2-a1/2,∴a1=4/3
代入（1）得an=(3n+1)/(2+n)
当n=1时也满足，∴an=(3n+1)/(2+n)