Question

二元一次不定方程的求根公式如何证明

Answer 1

不定方程ax+by=c，(a,b)=1,若（x0,y0)是一组解，则所有解可表成：
x=x0+bt
y=y0-at,（t是整数)
下面证明一下
为表示方便，设x1=x0+bt,y1=y0-at是任一组解
一方面，把x1,x2表达式代入ax+by=a(x0+bt)+b(y0-at)
=ax0+abt+by0-abt=ax0+by0=c
所以(x1,y1)确是ax+by=c的解，且(x1,y1)=(x0,y0)只要取t=0即可

另一方面，设ax+by=c有另一组解(x1,y1),则有方程组
ax0+by0=c①
ax1+by1=c②
①-②得a(x1-x0)=b(y0-y1)
根据整除性质，显然有a│b(y0-y1),b│a(x1-x0)
但(a,b)=1故有a│y0-y1,b│x1-x0
不妨设x1-x0=bt1,y0-y1=at2(t1,t2∈Z),则x1=x0+bt1,y1=y0-at2,
代入②得a(x0+bt1)+b(y0-at2)=c+ab(t1-t2)=c
故ab(t1-t2)=0,所以t1=t2
设t1=t2=t,则通解为x=x0+bt,y=y0-at
证毕！