Question

在定义域R上函数满足,F(x+y)=F(x)+F(y)当x<0时F(x)<0求证,F(x)为奇函数

在证f(x)为R上的增函数

Answer 1

首先考查定义域，为实数集，满足奇函数定义域要求(定义域关于0中心对称)。再令y=x=0， 那么F(x+y)=F(x)+F(y) 即F(0)=2F(0)，所以F(0)=0
又令y=-x，有F(x+y)=F(x)+F(y) =F(x)+F(-x)=F(0)=0
所以F(x)=-F(-x)，故为奇函数。
求奇偶性，先考虑定义域，再看x=0是否意义，再考虑图像对称与否，奇函数中心对称，偶函数y轴对称，他们定义域也是
设x,y<0,令x1=x+y,x2=y，则x1<x2<0,f(x2)-f(x1)=f(y)-f(x+y)=-f(x)>0，在负区间单调递增得证，同理证正区间，再正区间大于负区间，就完全证明了

Answer 2

首先，F(0+0)=F(0)+F(0), 因此 F(0) = 2F(0), 得F(0) = 0; 奇函数必要条件之一
其次，F(x+(-x)) = F(x) + F(-x), 因此 F(x) + F(-x) = F(0) = 0; 得 F(-x) = -F(x); 奇函数必要条件之二。
希望能帮到你，谢谢

Answer 3

令y=x=0， 那么F(x+y)=F(x)+F(y) 即F(0)=2F(0)，所以F(0)=0
令y=-x，那么有F(x+y)=F(x)+F(y) =F(x)+F(-x)=F(0)=0
所以F(x)=-F(-x)
所以函数为奇函数

Answer 4

验证F(0)＝0　然后F(X+X)=2F(X)　F(2X减X)=F(2X)+F(负X)　F(X)=2F(X)+F(负X) 移向得F(负X)=负F(X) 　所以是奇函数　　　希望能帮到你