Question

一道数学题，高手进！

⊙O1和⊙O2内含，⊙O1的弦AB切⊙O2于点C，O1O2交⊙O1于E，交⊙O2于F，AE.BF与FC分别交于P，Q，求证∠APC=∠BQC

Answer 1

延长EF到交外圆与D，连接OC，BD

∠O2CF=∠O2FC （O2F=O2C=半径）

∠A=∠D               （同弧所对圆周角相等） 

因为AB为切线

所以∠O2CA=90°

由图可知

∠O2CA=∠O2CF+∠FCA  ,∠FCA  =∠A  +∠APC （∠FCA为△ACP外角  ）

可得∠O2CA=∠O2CF+∠A  +∠APC =90°    ①

因为DE为大圆直径，所以∠EBD=90°

因此△EBD为直角三角形，有∠DEB+∠D=90°    ②

因为∠DEB为  △QFE外角

所以有∠DEB=∠CFO2+∠Q

所以②可以化成∠DEB+∠D=∠CFO2+∠Q+∠D=90°   ③

①③可得  ∠O2CF+∠A  +∠APC =∠CFO2+∠Q+∠D

∠A =∠D，∠CFO2=∠O2CF（之前已经交代）

所以∠APC =∠Q

Answer 2

解：这道题确实很难，花了我将近一个小时。

作辅助线O2C，则有：O2C⊥AB，所以：∠O2CF=∠O2FC=α=∠CO2E/2，∠O2CB=90°

由∠O2CB=90°则有∠CO2E+∠3=90°，即2α+∠3=90°

又∠3=∠1+∠A，所以2α+∠1+∠A=90°……………………………………①

因为O1O2所在直线是圆O1的直径（尽管左侧没有划到圆上），所以从圆O1中可以看出，∠1和∠B所对应的圆弧正好是一个半圆，因此有∠1+∠B=90°……………………②

由①、②可得：2α+∠A=∠B，也就是：∠B-∠A=2α…………………………③

由三角形外角定理，可有：∠ACF=∠APC+∠A，可以改写为：90°-α=∠A+∠APC……④

同样有：∠FCB=∠B+∠BQC，也可以改写为：90°+α=∠B+∠BQC……………………⑤

将⑤式两边减去④式，得：∠B-∠A+∠BQC-∠APC=2α，带入③式，有：

∠APC=∠BQC

追问

由于正确回答只有一个，所以我先选一楼，你在倒下放这个网址回答，我好在给你分，不然你辛苦了还没分得http://zhidao.baidu.com/question/230798354.html

Answer 3

延长EF到交外圆与D，连接OC，BD
∠O2CF=∠O2FC （O2F=O2C=半径）
∠A=∠D （同弧所对圆周角相等）
因为AB为切线
所以∠O2CA=90°
由图可知
∠O2CA=∠O2CF+∠FCA ,∠FCA =∠A +∠APC （∠FCA为△ACP外角 ）
可得∠O2CA=∠O2CF+∠A +∠APC =90° ①

因为DE为大圆直径，所以∠EBD=90°
因此△EBD为直角三角形，有∠DEB+∠D=90° ②
因为∠DEB为 △QFE外角
所以有∠DEB=∠CFO2+∠Q
所以②可以化成∠DEB+∠D=∠CFO2+∠Q+∠D=90° ③
①③可得 ∠O2CF+∠A +∠APC =∠CFO2+∠Q+∠D
∠A =∠D，∠CFO2=∠O2CF（之前已经交代）
所以∠APC =∠Q 不准抄袭！
幸苦，一个一字打出来的，补习班讲了