Question

线性代数 矩阵

设A为n阶非奇异矩阵，B为m*n矩阵。试证：r（AB）=r（B）
证：因为A非奇异，故可表示成若干个初等矩阵之积，A=p1p2…Ps，Pi（i=1,2，…s）皆为初等矩阵，AB=p1p2…PsB，即AB是B经过s次初等行变换后得出的，因而r（AB）=r（B）
。 因为A非奇异，故可表示成若干个初等矩阵之积，A=p1p2…Ps 为什么啊？？？？？？？

Answer 1

因为A非奇异，故可表示成若干个初等矩阵之积，A=p1p2…Ps 为什么啊

呵呵 这也是定理, 你书中没有吗?

因为A非奇异,即A可逆, 所以其等价标准形就是 E.
即 A 可经初等变换 化成 E
所以存在初等矩阵, 使得 P1p2....Ps A Q1Q2....Qt = E
把这些初等矩阵逆到等式右边, 由初等矩阵的逆仍是初等矩阵, 所以A就表示成了初等矩阵的乘积了