Question

我想请问大家在线性代数里面矩阵的初等行变换就是一个消元的过程，但是矩阵的初等列变换是什么意思啊？

我想请问大家在线性代数里面矩阵的初等行变换就是一个消元的过程，但是矩阵的初等列变换是什么意思啊？为什么要引进初等列变换啊，它有什么实际意义啊，还有一个问题就是矩阵的秩到底代表什么啊，别用后面的线性相关与线性无关解释啊，起初我是这么理解的，假如一个方程组对应的增广矩阵是：1 -1 -1 0 3
2 -2 -1 2 4
3 -3 -1 4 5
1 -1 1 4 -1 我将它化为阶梯型矩阵后为：

1 -1 -1 0 3
0 0 1 2 -2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
这个阶梯型方程组表示它的有效方程只有两个 ，同时的它的秩是2，所以当初我以为秩就是表示的是有效方程，但是后来我发现还有肯能出现这种情况，随便举一个例子
： 1 -1 -1 0 3
0 0 1 2 -2
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 那么这个时候第三行对应的方程是矛盾方程，但是它的秩是3，所以秩肯定不是有效方程，那么秩到底代表什么了?希望高手给予正确的解答，小弟在此谢过啊！回答的越详细越好

Answer 1

这个增广矩阵的秩和原矩阵的秩是不一样的，所以是没有解的，而上面的那个两个秩一样所以有解，此时秩的大小和有效方程的个数一样，所以你要先判断秩之间的关系，这是判断有没有解的关键。到后面的学习秩会和基解，解系及你说的线性相关联系起来，这是一个系统，不要断章取义主观强加一些联系，你说的有效方程不过是在有解的前提下出现的一种数量关系。有关秩的本质，其实它是极大无关组包含的向量个数及空间多维向量性质的一种体现。说的明白一点吧，极大无关组就是一组线性无关向量的集合，就像在空间坐标系里三个轴可以表现所有的点和向量一样，极大无关组可以把其它的向量表现出来，等于用它就可以代表整个向量组，而且秩相同的矩阵在许多性质上有相同点，你以后会学到，慢慢来吧。学习过程有想法说明你用心了，祝你今后的学习越来越好，永远保持这种严谨的态度。

Answer 2

如果只求矩阵的秩, 可同时用行,列变换
列变换当然有用, 只是用在理论证明多些. 比如: 矩阵的等价标准形, 再如可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积..... 这都用到了列变换.

在齐次线性方程组中, 秩就是有效方程的个数, 是系数矩阵行向量的极大无关组所含向量的个数(仔细品品).
在非齐次线性方程组中, 有解的充要条件是 r(A) = r(A,B) 的秩, 也就是说, 列向量B 可由A的列向量组线性表示, 表示中的组合系数就是方程组的解

1 -1 -1 0 3
0 0 1 2 -2
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0
这个矩阵你要说明是齐次线性方程组的系数矩阵化来的 还是非齐次线性方程组的增广矩阵化来的

追问

是非齐次线性方程组的增广矩阵化来的，你还是没回答我的第一个问题啊，这个秩到底可以怎么理解啊，齐次线性方程组的秩是有效方程的个数，这个回答的很好，我就是想要这种答案，仿照这个，我希望你把非齐次线性方程组的秩也说明下，谢谢啊

追答

已经答了: 在非齐次线性方程组中, 有解的充要条件是 r(A) = r(A,B) (这是定理), 也就是说, 列向量B 可由A的列向量组线性表示, 表示中的组合系数就是方程组的解.
比如你的例:
1 -1 -1 0 3
0 0 1 2 -2
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0
这个时候第三行对应的方程是矛盾方程! 其实从秩的角度去看, 最后一列 不能由前几列线性表示, 就是说 系数矩阵的秩 小于 增广矩阵的秩, 此时无解