Question

在三角形ABC中，AB=AC，角A=36度，直线BD平分角ABC交AC于点D，求AD与AC的比值？写出过程

Answer 1

解：在△ABC中，∠A=36°，∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=72°。
∵BD是∠B的平分线， ∴∠DBA=∠DBC=72°÷2=36°=∠A。
∴在△ABD中 BD=AD.。
∵在△DBC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°=∠C，
∴在△BDC中BD=BC。 于是BD=BC=AD。
另外，∵△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形，
∴△ABC∽△BDC， AC/BC=BC/DC，或BC²=AC·DC，
也就是AD²=AC·DC。
设AC=m，AD=x，则DC=m-x，上式化为
x²=m(m-x)，即x²+mx-m²=0， 解得x=（1/2)（√5-1）m。 （舍去负值）
∴x/m=(1/2)(√5-1)。就是AD/AC=(1/2)(√5-1）。