Question

一道高中数学定积分问题

定积分定义中有把一个大区间分为n个小区间，........当“啦嘛”邹近于0时，所有小区间的长度都接近于零
问题在于为什么不把他们n等分呢，这样多方便啊？

Answer 1

不能简单的把他们分成n等分。我先大致的给你解析一下，其实你只有把定积分的概念弄透彻了也就明白了。将区间用任意（注意任意两个字）的分点分成n个小区间，再在每个小区间上取任意一个点ε，取其函数值再乘以小区间的长度，再把所有的加和起来的结果，这个和的值如果不依赖于分割，不依赖于取点（注意，分割针对于区间，取点针对于每个小区间找的那个点ε），那么函数就是可积的，这就是定积分的和式表示，也叫黎曼积分。估计说了这段话，你也没明白。我再通俗点。如果把他们都n等分的话，这就是区间的一种取法而已，其和可能会依赖于你的这种分法。比如狄氏函数，它是不可积，如果紧紧按你的这种分法，是算得出一个和的结果的（为0），那么你这仅是算出一个结果而不能叫定积分了。懂了吗？虽然我们一般计算的时候是取的n等分，但前提是已知这个函数可积，于是，我们用了这种简单的分法，因为结果不依赖于取点，所以我n等分的结果就是对的。可是再做定义时，或者是判断一个函数是否可积时，就不能简单的n等分了。现在懂了吗？

Answer 2

呵呵，提这么个问题说明你还是个很乐于思考的好学生嘛
你说的其实是对的，你说的n等分只是各种各样的分法中的一个，而你说的那个“喇嘛”是区间最小长度的那个字母是吧...
那里只是要求把最长的那个小区间都趋向于零，那么自然就能使得每个小区间都趋向于零了
而n等分当然是分法中的一个，也符合这个要求，而定义里面是要使得所有情况都成立的，所以就用了这种说法

Answer 3

定义积分时，数学家其实想让积分表示曲边梯形的面积。但是计算面积却有很多做法，你喜欢n等分，但是数学家会有各种各样的等分方法，而他们不希望不同的办法得到不同的答案，从而导致矛盾。
因此，定义时要说“对任意分法”。实际上，进一步的研究指出，如果函数不可积(也就是说曲边梯形的面积不是定值)，那么n等分和任意分法都会得出函数不可积的结论。如果函数可积，那么各种方法求出来的积分都一样。因此，两种方法实际上是等价的。

Answer 4

关于你那个定积分的疑问
定积分的定义是说在[a,b]上分段然后让最大小区间长度趋于0，若f(ξi)dx的极限存在而且不管划分P如何变化，极限是相等的，就说他Riemann可积，极限值就定义为定积分的值
所以你那样划分只是划分里的一个特例，在得知定积分可积的情况下，可用(b-a)/n为步长进行求和极限的运算，这个要等到大学你才会学到，数分上叫做Riemann和
高中只要会用Newton-Leibniz公式求一些简单初等函数的定积分即可

Answer 5

当然可以，再近似同样可以得到同样的答案（物理竞赛中经常使用）