Question

已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1与x＝－2时都取得极值。

(1)求a与b的值
（2）若x属于(-3,2)都有f(x)>1/c-1/2恒成立，求c的取值范围

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c，则：
f'(x)=3x^2+2ax+b，
f(x)在x=1与x=-2时都取得极值，即
f'(1)=2a+b+3=0，
f'(-2)=-4a+b+12=0，
解得：a=3/2， b=-6。

f'(x)=3x^2+3x-6=3(x-1)(x+2)，
x<-2时， f'(x)>0；
-2<x<1时， f'(x)<0；
x>1时， f'(x)>0。
所以函数f(x)=x^3+3/2*x^2-6x+c
在(-无穷，-2)递增；(-2，1)在递减；在(1，+无穷)递增。
当-3<=x<=-2时，f(x)最小值为：f(-3)，
f(x)>1/c-1/2恒成立，所以
f(-3)=c+9/2>1/c-1/2，
解得：
当-2<x<2时，f(x)最小值为：f(1)，
f(x)>1/c-1/2恒成立，所以
f(1)=c-7/2>1/c-1/2，
解得：

方法就是这样，下面你自己去解不等式。

答案应为：(3-√13)/2<c<0, c>(3+√13)/2