Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根,k为正整数。（1）求k的值；（2）当次方程有两个非零的

数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图象回答：当直线y=1/2x+b(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围。

Answer 1

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根,k为正整数。
（1）求k的值
方程有实数根，判别式Δ=4²-4×2×（k-1）=24-8k≥0，k≤3
k为正整数，k=1,2,3

（2）当次方程有两个非零的数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
当k=1时，方程解为x=-2或0
当k=3时，方程解为x=-1
均不符合方程有两个非零的数根，所以k=2
关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1为y=2x²+4x+1
将关于x的二次函数y=2x²+4x+1的图象向下平移8个单位，
平移后的图象为y=2x²+4x+1-8=2x²+4x-7

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图象回答：当直线y=1/2x+b(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围。
将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，即取函数值的绝对值，图象的解析式y=│2x²+4x-7│
直线y=1/2x+b与此图象有两个公共点，即1/2x+b=│2x²+4x-7│
由图像得，当直线y=1/2x+b在与转换后的图象交于图像与x轴右交点（（3√2）/2-1，0）上方时，直线与此图象有两个公共点
当直线y=1/2x+b与转换后的图象交点（（3√2）/2-1，0）时，b=-（3√2-2）/4，
所以b＞-（3√2-2）/4，且b＜k
b的取值范围-（3√2-2）/4＜b＜2

Answer 2

(1)
∵有实数根
∴△≥0
∴4²-4*2*(k-1)≥0
∴k≤3
又k为正整数
∴k的值为1,2,3
(2)
∵k的值为1,2,3
∴①当k=1时，y=2x²+4x，显然有一根为0，不符舍去。
②当k=2时，y=2x²+4x+1,则△=4²-4*2*1=8
∴√△是无限不循环小数
∴根不是整数，不符，舍去。
③当k=3时，y=2x²+4x+2=2(x+1)²
∴有等根x=-1（非零、整数：符合）
综合①②③得：k=3
∴y=2x^2+4x+2
∵下移8个单位
∴y＝2（x＋1）²－8
(3)
y=2x^2+4x-6=2(x+3)(x-1)
∴y=0的两根为x=1和x=-3
先作图，并画出直线y=1/2x，并把直线上下平移
设
平移中与y=2(x+3)(x-1)相切的直线（切于-3＜x＜1）为 l1
平移中与y=2(x+3)(x-1)相交于点(-3,0)的直线为 l2
平移中与y=2(x+3)(x-1)相交于点(1,0)的直线为 l3
显然当直线在 l1 上方 或 在 l2 与 l3 之间时有两个公共点
①联立 y=1/2x+b 和 y=-(2x^2+4x-6) 可以解出 l1，得到的b=6+81/32 > k = 3 ，不符舍去。
②∵l2过(-3,0)，l3过(1,0)
∴解得：b2=3/2，b3=-1/2
∴-1/2<b<3/2
又 b<k=3
∴-1/2<b<3/2

Answer 3

1)
2x²+4x+k-1=0有实数根,k为正整数
4^-8(k-1)>=0
k<=3
（有2根）k=1或k=2或(有1根）k=3
2)两个非零的根，k=1或k=2,
y=2x²+4x+k-1向下平移8个单位
y-(-8)=2x²+4x+k-1
y=2x²+4x+k-9
y=2x²+4x-8或 y=2x²+4x-7
3)y=2x²+4x-8=0 y=2x²+4x-7=0
(x+1)^2=5 (x+1)^2=9/2
x=±√5-1 x=±3√2/2-1
y=|2x²+4x-8| y=|2x²+4x-7|
y=1/2x+b y=1/2x+b
y=2x²+4x-8 (x<-√5√-1或x>√5-1) y=2x²+4x-7(x<-3√2/2-1或x>3√2/2-1)
2x²+7x/2 -8-b=0 2x²+7x/2-7-b=0
(7/2)^2+8(8+b)>0 (7/2)^2+8(7+b)>0
1>b> -8-49/32,(b<k,b<1) 2> b>-7-49/32 （b<k,b<2）
y=-2x^2-4x+8 (-√5-1<x<√5-1) y=-2x²-4x+7 (-3√2/2-1<x<3√2/2-1)
-2x²-9x/2+8-b=0 -2x²-9x/2+7-b=0
(9/2)^2+8(8-b)>0 (9/2)^2+8(7-b)>0
（b<81/32+8) b<k,b<1 （ b<81/32+7）, b<k, b<2

Answer 4

（1）4^2-4×2×（K-1）≥0
K≤3 因为K取整数 所以K=1 、 2 、3
（2） 2x²+4x+k-9=0（K〈3 ）