Question

如图，在△ABC中，BD,CD是内角平分线，BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线。

(1)若∠A=60°，分别求出∠D,∠P
(2)当∠A的大小发生变化时，试探究：∠D+∠P的大小是否变化？若不变化，求出∠D+
∠P的值；请说明理由。

Answer 1

（1）、据题意，在△ABC中∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，在△DBC中
∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=180°-（1/2）(∠ABC=∠ACB)=180°-120°/2=120°。
而在四边形DBPC中，∠DBP=∠DBC+∠CBP=(1/2）∠ABC+(1/2)(180°-∠ABC）=90°，
同样，∠DCP=90°，于是∠P=360°-∠D-∠DBP-∠DCP=360°-120°-90°-90°=60°。
（2）、当∠A变化时，∠D和∠P也随之变化，但是∠D+∠P=180°却固定不变。这是因为三角形的角平分线与这个角外角的平分线夹角为90°，在四边形DBPC中四个内角和是360°，
∠D+∠P=360°-∠DBP-∠DCP=360°-90°-90°=180°，与∠A的大小无关。

Answer 2

设△ABC的内角∠ABC=β，∠ACB=γ，∵∠A=40°，∴β+γ=140°，（β+γ）/2=70°。
(1)、∵BD、CD是两条内角平分线，∴∠DBC=β/2，∠DCB=γ/2，
在△DBC中∠D=180°-β/2-γ/2=180°-（β+γ）/2=180°-70°=110°；
同样∵BP、CP是两条外角平分线，∴∠PBC=(180°-β)/2=90°-β/2，
而∠PCB=90°-γ/2，那么∠P=180°-（90°-β/2）-（90°-γ/2）=(β+γ)/2=70°。
(2)、由上面的计算可以看到，不论∠A为何值，总有∠D=180°-（β+γ）/2，
∠P=(β+γ)/2=180°-∠D，两角和∠D+∠P=180°不变。

Answer 3

有图吗？