Question

证明：设A是m×n矩阵，证明若对任意n×1矩阵X，都有AX=0，则A=0

Answer 1

设 ε1 ε2 ε3......εn 是n维基本向量组. 即 每个 εi = ( 0,0,...,0, 1, 0, ...,0)^T, 1在第i个位置.
由已知条件, Aεi = 0.
所以 A(ε1, ε2, ε3,......,εn) = O. 即有 AEn = O. 所以 A = O.

追问

我们还未学过n维基本向量组，有没有其他方法啊？谢谢啦！详细一点。。。

追答

设 ε1 = (1,0,...,0)T (转置成列向量), 由已知 Aε1 = 0,
而 Aε1 = (a11,a21,...,am1)T , 所以 (a11,a21,...,am1)T = 0, 即A的第1列都是0.
同样的道理, 设ε2 = (0,1,0,...,0)T , 由Aε2 = 0, 得A的第2列都是0.
......
所以 A = 0

Answer 2

对于任意nX1矩阵X，则可以证明方程AX=0有n个线性无关的非零解。根据齐次方程线性无关非零解的个数=n-r（A），则证明n=n-r（A），推出r（A）=0，则A=0。

或取nXn的单位矩阵E，其每个列向量e1、e2……en都是线性无关的nX1矩阵。Ae（1~n）=0，则AE=A=0，推出A=0