Question

求该微积分导数和过程，高手进！在线等。

求 f(x)=(sinX)^(tanX)的导数。
中译：求sinX的tanX 次方的导数。

答案是：(sinX)^(tanX)[(sec^2 X)(In sinX)+1]
中译：sinXsinX的tanX次方 乘（secX的2次方乘In sinX+1)

+1是这么来的，求导数方法我学过，但后面的+1这么来的。
求过程和讲解，并且简化。

谢谢！
为什么一开始要乘上ln,这里我没学过。

Answer 1

f(x)=(sinX)^(tanX)
两 边先 用 自 然 对 数 ln：
ln(f(x))=tan(x)*ln(sin(x))
然 后 两 边 对 x求 导 数 ：
f(x)'/f(x)=(tan(x))'*ln(sin(x))+tan(x)*(ln(sin(x))'
=sec(x)^2*ln(sin(x))+tan(x)*(sin(x))'/sin(x)
=sec(x)^2*ln(sin(x))+tan(x)*cos(x)/sin(x)
=sec(x)^2*ln(sin(x))+1
上 式 两 边 同 时 乘 以 原 函 数 f(x)就 得 到 答 案 ：
f'(x)=(sinX)^(tanX)[(sec^2 X)(In sinX)+1]

追问

为什么一开始要乘上ln,这里我没学过

追答

一 般 来 说 ，对 于 u=f(x)^g(x)
只 有 当 f(x)=a 或 者 g(x)=a ,且 a是 常 数
时 才 可 以 用 课 本 和 手 册 中 的 公 式 直 接 求 导 ，
如 果 其 指 数 g(x)和 底 f(x)都 是 自 变 量 x 的 函 数 ，
难 以 直 接 利 用 公 式 求 导 ， 一 般 要 先 对 该 函 数 求 对 数 ，
lnu(x)=g(x)*lnf(x),化 指 数 型 为 函 数的 积 ，两 边 求 导 ，
左 边 变 为 u'(x)/u(x),右 边 函 数 的 积 的 导数 可 以 利 用课 本
中 的 公 式来 求， 然 后 两 边 再 乘 以 原 来 函 数 u(x)， 即 可 得 到 u'(x) 。
这 是 这 种 指 数 和 底 都 含 有 自 变 量 类 型 题 求 导 数 的 通 用 方 法 。

Answer 2

lnf(x)=ln[(sinX)^(tanX)]=tanx * lnsinx
[lnf(x)]'=(tanx)' *lnsinx + tanx *(lnsinx)'
[1/f(x)]f'(x)=(sec^2x)*lnsinx +tanx *(1/sinx) *cosx=(sec^2x)*lnsinx +sec^2x
f'(x)=f(x)*(sec^2x)(lnsinx +1)=(sinx ^tanx)(sec^2 x)(lnsinx +1)

追问

为什么一开始要乘上ln,这里我没学过

追答

这个“ln"可不是要被“乘上”的
lnf(x)就是：以e为底的，f(x)的对数

有公式：
(lnx)'=1/x
ln(a^b)=b*lna
等等