Question

大学数学微积分

设函数f(x)满足xf'(x)-3f(x)=-6x^2,且曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求区域D的面积。

这道题的过程是：用一阶线性方程求出y=cx^3+6x^2
然后利用V'求出驻点C=-7
在用V"得出C=-7是最小值
接着求面积时S=∫∫（下限0上限1）|6X^2-7X^3|dx
然后是S=∫∫（下限0上限6/7）（6x^2-7x^3）dx+∫∫(下限6/7上限1)（7x^3-6x^2)dx

这道题的图应该怎么画啊！
还有在最后求面积的时候为什么）|6X^2-7X^3|要加绝对值，还要分段去解呢！请高手指点一下啊！谢谢
如果方便的话可不可以给我上传张详细步骤的照片啊！谢谢

Answer 1

这一题的图给你了，可以看到，在积分区间上，函数值分为了正的部分和负数部分，积分的意义是函数值的无限累加，所以积分值将会随函数值正负的变化而变化。

但是，由于面积不分正负，永远是正的（即使在本题函数的右半部分），因此在利用积分求面积的时候要加上绝对值。

至于分段，是在加上绝对值后为了求解方便而设。