Question

lim[(x^m-a^m)/(x^n-a^n)]. x->a a不等于0 求极限

Answer 1

分子→0；分母→0
方法一：洛必达法
分子=mx^(m-1)
分母=nx^(n-1)
原极限=(m/n)a^(m-n)
方法二：因式分解法
分子=(x-a)[x^(m-1)+x^(m-2)a+…+a^(m-1)]
分母=(x-a)[x^(n-1)+x^(n-2)a+…+a^(n-1)]
原极限=同上

Answer 2

lim[(x^m-a^m)/(x^n-a^n)]=a^m/a^n*lim[((x/a)^m-1)/((x/a)^n-1)]
问题就转化为a^m/a^n*lim(x^m-1)/(x^n-1) 当x趋近于1的时候的极限
lim(x^m-1)/(x^n-1)=m/n（用罗比达法则）
固 原式=(a^m*m)/(a^n*n)