Question

已知f(x)是定义在(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上的奇函数 且f(3)=1 当x＞0，y＞0时 有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)

判断并证明f（x）的单调性。

Answer 1

这个问题我纠结了很久该怎么跟你说，毕竟，我的回答太容易被误解为错了，我可是要采纳率的！然而出了这么多错解，看不下去了，我还是要用小号来跟你说。
这是一道柯西方程题(柯西方程：f(x)+f(y)=f(x+y)），原题没有给出该函数在分段上的连续性或有界性，单调性之类的条件，所以这个函数的单调性不确定！以下是我的过程：
令y=1/x，得到f(x＋1)=-f(1/x 1)
令n为正整数，f(x^n＋1)=f(x^(n-1)) f(x＋1)=…=nf(x＋1)
同理可得1/n f(x＋1)=f(x^(1/n)＋1)
由以上三条可以得出对于有理数a,有af(x＋1)=f(x^a＋1)
但是题中只给出了x=2的情况！所以对于3=2^(log2(3))等类似情况是不能表示的！
因此我可以轻松举出与楼上不同的反例。
当x=2的有理数幂＋1时有f(x)=ln(x-1)/ln2，f(-x)=…我省略了，楼主算得出，其他情况f(x)=无限大＋ln(x-1)/ln2，f(-x)=…这也是一个符合题意的情况，但它是断的，谈不上单调性！
请参见各种柯西方程题，你会发现本题缺失了一些条件以至于解柯西时最重要的逼极限，求连续性的一步无法做！！！

Answer 2

当x＞0，y＞0时 有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) ，且f(3)=1，当x=2时，有1+f(y+1)=f(2y+1) =f〔(y+y) +1〕，f(2y+1)-f(y+1)=1＞0，即f(2x+1)-f(x+1)＞0，所以当x＞1时，2x＞x+1，f(2x+1)＞f(x+1)，f(x)为单调递增的。
又f(x)是定义在(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上的奇函数，奇函数的图形关于原点对称，当x＜－1时f(x)为单调递增的。
综上，f(x)是其定义(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上是单调递增的。

Answer 3

把y=2带进那个等式得，f（x+1）+f（3）=f（2x+1）即f（2x+1）-f（x+1）=1>0 又因为2x+1>x+1 所以是增函数