已知f(x)是定义在(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上的奇函数 且f(3)=1 当x>0,y>0时 有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)
3个回答
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这个问题我纠结了很久该怎么跟你说,毕竟,我的回答太容易被误解为错了,我可是要采纳率的!然而出了这么多错解,看不下去了,我还是要用小号来跟你说。
这是一道柯西方程题(柯西方程:f(x)+f(y)=f(x+y)),原题没有给出该函数在分段上的连续性或有界性,单调性之类的条件,所以这个函数的单调性不确定!以下是我的过程:
令y=1/x,得到f(x+1)=-f(1/x 1)
令n为正整数,f(x^n+1)=f(x^(n-1)) f(x+1)=…=nf(x+1)
同理可得1/n f(x+1)=f(x^(1/n)+1)
由以上三条可以得出对于有理数a,有af(x+1)=f(x^a+1)
但是题中只给出了x=2的情况!所以对于3=2^(log2(3))等类似情况是不能表示的!
因此我可以轻松举出与楼上不同的反例。
当x=2的有理数幂+1时有f(x)=ln(x-1)/ln2,f(-x)=…我省略了,楼主算得出,其他情况f(x)=无限大+ln(x-1)/ln2,f(-x)=…这也是一个符合题意的情况,但它是断的,谈不上单调性!
请参见各种柯西方程题,你会发现本题缺失了一些条件以至于解柯西时最重要的逼极限,求连续性的一步无法做!!!
这是一道柯西方程题(柯西方程:f(x)+f(y)=f(x+y)),原题没有给出该函数在分段上的连续性或有界性,单调性之类的条件,所以这个函数的单调性不确定!以下是我的过程:
令y=1/x,得到f(x+1)=-f(1/x 1)
令n为正整数,f(x^n+1)=f(x^(n-1)) f(x+1)=…=nf(x+1)
同理可得1/n f(x+1)=f(x^(1/n)+1)
由以上三条可以得出对于有理数a,有af(x+1)=f(x^a+1)
但是题中只给出了x=2的情况!所以对于3=2^(log2(3))等类似情况是不能表示的!
因此我可以轻松举出与楼上不同的反例。
当x=2的有理数幂+1时有f(x)=ln(x-1)/ln2,f(-x)=…我省略了,楼主算得出,其他情况f(x)=无限大+ln(x-1)/ln2,f(-x)=…这也是一个符合题意的情况,但它是断的,谈不上单调性!
请参见各种柯西方程题,你会发现本题缺失了一些条件以至于解柯西时最重要的逼极限,求连续性的一步无法做!!!
参考资料: 各种函数方程竞赛书,推荐《函数与函数方程》熊斌 朱臻 苏勇 p115
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当x>0,y>0时 有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1) ,且f(3)=1,当x=2时,有1+f(y+1)=f(2y+1) =f〔(y+y) +1〕,f(2y+1)-f(y+1)=1>0,即f(2x+1)-f(x+1)>0,所以当x>1时,2x>x+1,f(2x+1)>f(x+1),f(x)为单调递增的。
又f(x)是定义在(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上的奇函数,奇函数的图形关于原点对称,当x<-1时f(x)为单调递增的。
综上,f(x)是其定义(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上是单调递增的。
又f(x)是定义在(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上的奇函数,奇函数的图形关于原点对称,当x<-1时f(x)为单调递增的。
综上,f(x)是其定义(负无穷,-1)∪(1,正无穷)上是单调递增的。
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把y=2带进那个等式得,f(x+1)+f(3)=f(2x+1)即f(2x+1)-f(x+1)=1>0 又因为2x+1>x+1 所以是增函数
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