Question

已知函数f(x)=2x^3+3ax^2+3bx^2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。（1）求a、b的值。（2）若对于任意的x属于（

Answer 1

f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c，
求导，得到f(x)'=6x^2+6ax+3b,
又,在x=1与x=2取到极值，
故f(x)'=k(x-1)(x-2)=6x^2+6ax+3b,
得到 kx^2-3kx+2k=6x^2+6ax+3b,
比较系数，得：k=6,-3k=6a,2k=3b
故，a=-3,b=4.

所以f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c

根据题意有对任意x属于闭区间0到3均有f(x)<c^2成立
所以，2x^3-9x^2+12x+8c-c^2<0 x属于闭区间0到3
转化为求2x^3-9x^2+12x在x属于闭区间0到3内有的最大值。
设 g(x)=2x^3-9x^2+12x
g(x)'=6x^2-18x+12=0,根据二次曲线知识，知道
在x属于闭区间1到2内小于等于0，当x小于1或大于2时大于0，所以
对于g(x)，可知道当x小于1或大于2时,为单调增函数，
x属于闭区间1到2内，为单调减函数。
当x分别为0，1，2，3时，得到g(x)分别为0，5，4，9.
所以给g(x)的最大值为9 当x属于闭区间0到3
所以有8c-c^2<-9
求解二次不等式，得到c<-1或c>9.