Question

已知O为三角形ABC所在平面内一点，若OA *OB=OB*OC=OC*OA,则点O事三角形ABC的什么心?

求证明过程（以上OA什么的都是向量）

Answer 1

OA *OB=OB*OC
0＝OB*（OA-OC）＝OB*CA, OB⊥CA 同理 OA⊥BC OC⊥AB
O是⊿ABC的垂心。
请留意，由此可以得到三角形三个高交于一点的一个向量证明方法，楼主不妨试试。
（即从OA⊥BC,OB⊥AC, 推出OC⊥AB!）

Answer 2

外心。
即三条边的中垂线交点。

追问

给个证明过程

追答

证明：分别作△ABC的边AB、BC的中垂线交于一点O，则：OA=OB=OC，
由OA=OC知：点O也在边AC的垂直平分线上，
所以：△ABC三条边的中垂线交于O点，且这点到三角形的三个顶点的距离相等。
而已知的O点，满足OA*OB=OB*OC=OC*OA，即满足OA=OB=OC
所以：已知的O点就是三角形的外心。

追问

不好意思,这答案不是外心,是垂心........如果我记得没错外心和垂心还是有区别的

追答

你有确切的答案吗，为什么是垂心，垂心到三个顶点的距离是不相等的，是不可能满足OA *OB=OB*OC=OC*OA的。因为由OA *OB=OB*OC=OC*OA可以推导出OA=OB=OC，所以：到三个顶点相等得点必是外心。