Question

高等数学微积分

设函数f(x)满足xf'(x)-3f(x)=-6x^2,且曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求区域D的面积。

这道题我知道过程就是图不知道是什么样子的所以看不懂过程！y=-7x^3+6x^2 ，x=1及x轴所围成的平面图形D这个图在坐标我不会画！
请哪位高人帮我画张传上啦！谢谢啦！或者发我邮箱里也可以！328471377@qq.com

Answer 1

我用matlab画的图，横轴是x轴，纵轴是y轴

追问

这道题的过程是：用一阶线性方程求出y=cx^3+6x^2 然后利用V'求出驻点C=-7.在用V"得出C=-7是最小值接着求面积时S=∫（下限0上限1）|6X^2-7X^3|dx 然后是S=∫（下限0上限6/7）（6x^2-7x^3）dx+∫∫(下限6/7上限1)（7x^3-6x^2)dx
朋友我不明白求面积时正的部分是y=-7x^3+6x^2 ，x轴围成的。下面负的那部分才是y=-7x^3+6x^2 ，x=1及x轴所围成的平面图形.为什么还要考虑上面的那部分呢！
请帮忙解答一下啊！

追答

有x=1的限制，曲线y=-7x^3+6x^2 到负的部分到（1,1）点截止，此时曲线与x轴、x=1围成的图形是如图所示被x=0分成的两部分，这两部分绕x轴旋转后的体积之和就是平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

追问

但是上面正的部分是=-7x^3+6x^2 ，x轴围成的！没有x=1的事啊！求面积时要求的是有y=f(x)与x轴及x=1这三个条件围成的！但是上面的部分只是y=f(x)与x周围的啊！为什么求面积时还要算上它呢！
我这块学的不好！朋友帮帮忙解答一下！

追答

y=-7x^3+6x^2 ，x=1及x轴所围成的平面图形就是说整个坐标系中，这三条曲线为边界所包围部分的面积，正的部分只是由y=-7x^3+6x^2 ，及x轴围城就封闭了，负的部分才需用到x=1的条件。
就是说只要满足是这三条曲线所围区域就行，不一定区域的每一部分都要三条曲线同时围成