Question

在△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图①的位置

在△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE⑵当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE⑶当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.

Answer 1

解：∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠AEB=90°

又∵AC⊥BC

∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°

又∵∠CBE+∠BCE=90°

∴∠ACD=∠CBE

在△ACD和△CBE中

｛∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠AEB，AC=BC

∴△ACD≌△CBE（AAS）

∴AD=EC，CD=EB

∴ED=CE-CD=AD-EB

--------------------------------------------------------------------------------
如图（1）所示，

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB=90°

又∵AC⊥BC

∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°

又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°

∴∠BCE=∠CAD

∴在△ADC和△CEB中

{∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB

∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴AD=CE，CD=BE

∴DE=CE+CD=AD+BE

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如图（3）所示

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB=90°

∵AC⊥BC

∴∠ACD+∠BCE=90°

又∵∠ACD+∠CAD=90°

∴∠BCE=∠CAD

∴在△ADC和△CEB中

｛∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴AD=CE，CD=EB

∴DE=CD-CE=EB-AD

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Answer 2

作AC延长线交BE的延长线于F,因为∠BCE+∠ECF=90`,∠EBC+∠BCE=90`,所以∠EBC=∠ECF,又因为∠ACD=∠ECF,所以∠EBC=∠ACD又因为∠adc=∠bec=90`，ac=bc所以△adc全等于△ceb，所以de=dc+ce=ad+be

Answer 3

解：∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠AEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°
又∵∠CBE+∠BCE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中
｛∠ACD=∠CBE，∠ADC=∠AEB，AC=BC
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=EC，CD=EB
∴ED=CE-CD=AD-EB
--------------------------------------------------------------------------------
如图（1）所示，
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°
又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°
∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
{∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=CB
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，CD=BE
∴DE=CE+CD=AD+BE
--------------------------------------------------------------------------------
如图（3）所示
∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵∠ACD+∠CAD=90°
∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
｛∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，CD=EB
∴DE=CD-CE=EB-AD

Answer 4

(3)
∵△ADC≌△CED
∴AD=CE,CD=EB
∵DE=CE-DE
∴DE=AD-EB