Question

一道高一数学选择题

在数列｛an｝中，前n项和为Sn=a的n次方-1，则数列｛an｝（ ）
A是等比数列 B不是等比数列
C可以是等比数列，也可以是等差数列
D可以是等比数列，但不是等差数列
备注；除了a的n次方，n均为下标

Answer 1

在数列｛a‹n›中，前n项和为S‹n›=aⁿ-1，则数列｛a‹n›｝（ ）
A是等比数列 B不是等比数列
C可以是等比数列，也可以是等差数列
D可以是等比数列，但不是等差数列
解：a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=(aⁿ-1)-(aⁿ⁻¹-1)=aⁿ(1-1/a)=c(aⁿ)
其中c=1-1/a (a=1时c=0)
a‹n+1›/a‹n›=caⁿ⁺¹/caⁿ=a (当a≠1时）
当a≠1时原数列是等比数列。当a=1时，原数列是零数列。
（原题有缺陷，应规定a≠1)忽略这个缺陷，应选A.

Answer 2

n>=2
Sn-S(n-1)
=a^n-a^(n-1)
=a*a^(n-1)-a^(n-1)
=(a-1)a^(n-1)
所以a≠1时
这是等比数列

a1=S1=a-1
a2=S2-S1=a²-a
a3=a³-a²
若是等差
则2a2=a1+a3
2a(a-1)=(a-1)(a²+1)
(a-1)³=0
a=1
此时Sn=1-1=0
则an=0,

所以等差等比都有可能
选C

Answer 3

S(n)=a的n次方-1
S(n+1)=a的n+1次方-1=Sn+a(n+1)=a的n次方-1+a(n+1)
a(n+1)=a的n+1次方-a的n次方=a^n*(a-1)
a(n)=a^(n-1)*(a-1)
a(n+1)/a(n)=a
a(n+1-a(n)={(a-1)^2}*a^(n-1)
D可以是等比数列，但不是等差数列

Answer 4

C，a=1时，an是常数列

Answer 5

C