Question

已知函数f(x)=|2x-3|,且f（2a）=f（b+3），则T=3a^2+b的取值范围是多少？

Answer 1

解：
因为f（2a）=f（b+3）
所以 |4a-3|=|2b+3|
所以 （4a-3)^2=(2b+3)^2
所以16a^2-24a+9=4b^2+12b+9
所以 16a^2-24a=4b^2+12b
所以 4a^2-6a=b^2+3b…… ①
(2a-3/2)^2=(b+3/2)^2
(2a-b-3)(2a+b)=0
所以2a=b+3 或者 2a=-b
讨论： 当2a=b+3时
因为T=3a^2+b
=3a^2+2a-3
=3(a^2+2a/3)-3
=3[(a+1/3)^2-1/9]-3
=3[(a+1/3)^2]-10/3
所以T>=-10/3
当2a=-b时
因为T=3a^2+b
=3a^2-2a
=3（a^2-2a/3)
=3[(a-1/3)^2-1/9]
=3(a-1/3)^2-1/3
所以T>=-1/3

追问

以上解答没有注意到a的取值范围。

追答

谢谢提醒!
好题目啊！

不过这个题目是否缺少条件：

看到的话请回复
你给的题是缺少条件的
如果原题是这样那么
就不需要考虑a的范围
因为ab可以互换 取满整个实数集

我找到了原题，还有依个 条件:若02a, 欲使两函数值相等，可以用反证法先证明一下：当b+3 和2a都大于1.5或都小于1.5时，两函数值相等必须会推出 b+3=2a这一矛盾。所以可得b+31.5成立，
于是根据对称性有：b+3+3a=3 （即b+3和3a两个变量是关于1.5左右对称的）

于是T=3a^2-3a (3a>1.5) 属一元二次函数，画抛物线即可。

Answer 2

答案不对，应该是：-5/16<T<0

Answer 3

f(x)函数图像且有对称轴是 直线x=1.5 即满足：f(3-x)=f(x)
图像的画法是先画2x-3,再把x轴下侧翻到上面去。

上面这个恒等式含义是（用图像也可以看出）：对于任意两个变量，如果两个变量之和为3（等价于两个变量的中点是1.5），则这两者的函数值相等。

由于b+3>2a, 欲使两函数值相等，可以用反证法先证明一下：当b+3 和2a都大于1.5或都小于1.5时，两函数值相等必须会推出 b+3=2a这一矛盾。所以可得b+3<1.5, 3a>1.5成立，
于是根据对称性有：b+3+3a=3 （即b+3和3a两个变量是关于1.5左右对称的）

于是T=3a^2-3a (3a>1.5) 属一元二次函数，画抛物线即可。

追问

因为2a<b+1,b+1<b+3,若b+3<1.5,则2a<1.5.导致矛盾。故答案不成立。

Answer 4

f（2a）=f（b+3）
|4a-3|=|2b+6-3|
4a-3=2b+3或4a-3=-2b-3
b=2a-3或b=-2a

b=2a-3
则T=3a^2+2a-3=3(a+1/3)^2-10/3≥-10/3

b=-2a
则T=3a^2-2a=3(a-1/3)^2-1/3≥-1/3

所以T≥-1/3

追问

以上解答忽略了a的取值范围，请慎思。

追答

a取值是R

Answer 5

由函数图像的对称性可知f(3-x)=f(x)
或者可从f(x)=|2x-3|=|3-2x|=|2(3-x)-3|=f(3-x)得到,从而有2a+b+3=3
于是b=-2a代入T=3a^2+b有T=3a^2-2a=3(a-1/3)^2-1/3≥-1/3

Answer 6

由函数的对称性有以下两种情况
(1)当2a<3/2且b+3>3/2时有
f(2a)=3-4a
f(b+3)=2b+3
此时有b=-2a,从而有T=3a^2-2a（a<3/4）有抛物线可知T>=-1/3
(2)当2a>=3/2且b+3<=3/2时 推出b=-2a，T=3a^2-2a（a>=3/4）
T为a的增函数，故T>=T(3/4)=3/16

追问

在（1）中，根据a的取值范围，应满足T<3/16.
在（2）中，因为2a<b+1，故2a<b+3,所以（2）的解答也不对。

追答

(1) 中T的定义域为 a=b+3