Question

求极限 当x→1时 lim[ (x^m-1)/(x^n-1)] (m,n 是自然数)

Answer 1

【方法一：因式分解法】
分子 = (x-1)[x^(m-1) + x^(m-2) + x^(m-3) + ...... + 1]
分母 = (x-1)[x^(n-1) + x^(n-2) + x^(n-3) + ...... + 1]
(x^m - 1)/(x^n - 1)
= [x^(m-1) + x^(m-2) + x^(m-3) + ...... + 1]/[x^(n-1) + x^(n-2) + x^(n-3) + ...... + 1]
= 1×m/1×n
= m/n

【方法二：洛必达求导法】
当x→1时，(x^m-1)→0；(x^n-1)→0
属于 0/0 型不定式
分子的导数 = mx^(m-1) → m
分母的导数 = nx^(n-1) → n
所以，原极限 = m/n

用两个重要极限解答，并不合适。

Answer 2

分子 = (x-1)[x^(m-1) + x^(m-2) + x^(m-3) + ...... + 1]

分母 = (x-1)[x^(n-1) + x^(n-2) + x^(n-3) + ...... + 1]

(x^m - 1)/(x^n - 1)

= [x^(m-1) + x^(m-2) + x^(m-3) + ...... + 1]/[x^(n-1) + x^(n-2) + x^(n-3) + ...... + 1]

= 1×m/1×n

= m/n

完善

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。

对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。

Answer 3

选出m和n中最大的数a，分子分母同时除以x^a，利用复合函数的极限运算法则，将分子分母同时取极限即可。

用如果要用柯西所给的极限定义做，只需要先分离分子中的变量，然后化简即可。

Answer 4

对分子、分母求导，然后代入x=1，答案=m/n

追问

用极限存在的准则 或 两个重要极限的方法可以做吗

追答

都不能做，因为你如果用极限存在的准则，很难找到两个靠近它的函数；而如果用两个重要极限的方法，你根本就化简不成那两个公式的模样，然后去套，所以也做不了。
最简单的还是直接求导，求导需要满足的条件是：1. 0/0型或无穷分之无穷型；2. 求导后分母不为0； 正好适合本题。