Question

在三角形ABC中,已知tan(A+B)=1,且最长边为1，tanA＞tanB，tanB＝1／3，求三角形AB

Answer 1

tan(A+B)=tan(π-C)=tanC=1
C=π/4，或 C=3π/4
tanA=tan[(A+B)-B]=[tan(A+B)-tanB]/[1+tan(A+B)*tanB]=1/2
tanB<tanA<tanC
B<A<C
所以最大角为C，C=3π/4，c=1
所以sinA=tanA/√[1+(tanA)^2]=√5/5
sinB=tanB/√[1+(tanB)^2]=√10/10
sinC=√2/2
a/sinA=b/sinB=c/sinC
a=√10/5，b=√5/5。

Answer 2

解：三角形ABC中，tan(A+B)=1，且(A+B)∈（0，π）
则A+B=π/4，C=3π/4
从而角C所对的边为最长边，c=1,sinC=sin(3π/4)=√2/2
又tanA＞tanB＝1／3，B∈（0，π/4），
则最短边为b,
sin^B+cos^B=1（正余弦的平方...），sinB/cosB=1／3
解得sinB=1/√10
由正弦定理知 b/sinB=c/sinC
代入数据得 b=√5/5
故角c的大小为3π/4，ABC最短边的长为√5/5.