Question

sinα/sinβ=p cosα/cosβ=q p≠±1 q≠0 求tanα×tanβ

高一竞赛的题目、应该是这样的

Answer 1

sinα/sinβ=p，cosα/cosβ=q，sinβ=（1/p）sinα，cosα=qcosβ，
（sinα）^2+（cosα）^2= q ^2〔（sinβ）^2+（cosβ）^2〕+ （p^2－q^2）（sinβ）^2=1，
（sinβ）^2=（1－q ^2）/（p^2－q^2）
又（cosαsinβ）/（ sinαcosβ）= q / p，tanβ/ tanα= q / p,
（tanα×tanβ）^2= （p / q）（tanβ）^2= （p / q）×〔（sinβ）^2〕/〔1—（sinβ）^2〕=〔p（1－q ^2）〕/〔q（p^2－1）〕

追问

没看懂诶..在详细点

追答

（sinα）^2+（cosα）^2=1
而sinα=psinβ，cosα=qcosβ，因此(sinα）^2+（cosα）^2=（psinβ）^2+(qcosβ) ^2=(p^2)×（sinβ）^2+(q^2)×(cosβ) ^2=(p^2)×（sinβ）^2+(q^2)×(cosβ) ^2+(q^2)×(sinββ) ^2-+(q^2)×(sinββ) ^2［后两项一加一减项抵消，目的是为形成（q ^2）×（（sinβ）^2+（cosβ）^2），而 （sinβ）^2+（cosβ）^2=1，这样式中只有（sinβ）^2］= q ^2〔（sinβ）^2+（cosβ）^2〕+ （p^2－q^2）（sinβ）^2= q ^2+ （p^2－q^2）（sinβ）^2
用上面两个等式求（sinβ）^2=（1-q ^2）/（p^2－q^2）
接下去将tanα×tanβ 化成含（sinβ）^2的式子，cosα/cosβ=q 两边取倒数，cosβ/cosα=1/q，与sinα/sinβ=p 两边相乘就是（sinα×cosβ/cosα×sinβ）=p/q，再结合形成（sinα/cosα）×cosβ/sinβ）=p/q，即(tanα)/(tanβ) ）=p/q，tanα=（p/q）(tanβ)，tanα×tanβ=（p/q）(tanβ)^2=（p/q）×(sinβ/cosβ)^2=（p/q）×［(sinβ)^2/1-(sinβ)^2/］〕=〔p（1－q ^2）〕/〔q（p^2－1）〕
回答中最后式子第一个“=”前的“（tanα×tanβ）^2”应为“tanα×tanβ”， 当时打字有误，请见谅。