一道数学分析题
设A是m*m的矩阵,detA!=0(即不为零),求证存在a>0,使得|Ax|>=a|x|(其中x是属于Rm空间的任意向量)...
设A是m*m的矩阵,detA != 0(即不为零),求证存在a>0,使得|Ax| >= a|x| (其中x是属于Rm空间的任意向量)
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设 S = {x | |x|=1, x是属于Rm空间的向量}, 即 S为Rm的单位球。
则 S 是Rm中的有界闭集,即紧集。 于是 AS = {Ax | |x|=1, x是属于Rm空间的向量}也是Rm中的紧集。 因为 detA != 0, 0 不是特征根,所以 原点0不是属于AS。 设 原点0 到AS的距离为 2a. 因AS 是闭集,所以 存在AS中点 Ax0 使得 2a = 原点0 到AS的距离=原点0 到Ax0的距离 > 0
于是 任给 非零x是属于Rm空间,x/|x|属于S, 于是 |A(x/|x|)| >= |Ax0| > a, 即 |Ax|>=a|x|
则 S 是Rm中的有界闭集,即紧集。 于是 AS = {Ax | |x|=1, x是属于Rm空间的向量}也是Rm中的紧集。 因为 detA != 0, 0 不是特征根,所以 原点0不是属于AS。 设 原点0 到AS的距离为 2a. 因AS 是闭集,所以 存在AS中点 Ax0 使得 2a = 原点0 到AS的距离=原点0 到Ax0的距离 > 0
于是 任给 非零x是属于Rm空间,x/|x|属于S, 于是 |A(x/|x|)| >= |Ax0| > a, 即 |Ax|>=a|x|
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2011-03-05
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你问科学家,他知道
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