Question

一道数学分析题

设A是m*m的矩阵，detA ！= 0（即不为零），求证存在a>0，使得|Ax| >= a|x| (其中x是属于Rm空间的任意向量)

Answer 1

设 S = {x | |x|=1, x是属于Rm空间的向量}， 即 S为Rm的单位球。
则 S 是Rm中的有界闭集，即紧集。 于是 AS = {Ax | |x|=1, x是属于Rm空间的向量}也是Rm中的紧集。 因为 detA ！= 0， 0 不是特征根，所以 原点0不是属于AS。 设 原点0 到AS的距离为 2a. 因AS 是闭集,所以 存在AS中点 Ax0 使得 2a = 原点0 到AS的距离=原点0 到Ax0的距离 > 0
于是 任给 非零x是属于Rm空间，x/|x|属于S, 于是 |A（x/|x|）| >= |Ax0| > a, 即 |Ax|>=a|x|

Answer 2

不妨采用2-范数（范数性质允许这么做）。接下来的证明见图。

Answer 3

你问牛顿，他知道

Answer 4

你问科学家，他知道