Question

数学分析——定积分急求~~~~被采纳的追加30 悬赏啊，速度快的可以考虑更多~~~谢谢！

设y=f(x)(x>=0)是严格单调增加的连续函数，f(0)=0，x=h(y)是它的反函数，证明：
f(x)0到a的定积分+h(x)0到b的定积分>=ab(a>=0，b>=0)

Answer 1

要证∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)h(x)dx>=ab,(a>=0，b>=0)
只需证∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)h(y)dy>=ab
由已知得y=f(h(y)),x=h(f(x)),y=f(x)>=f(0)=0,h(y)>=h(0)=h(f(0))=0.于是
∫(0,a) f(x)dx+∫(0,b) h(y)dy=∫(0,a) f(x)dx+∫(0,h(b)) h(f(x))df(x)
=∫(0,a) f(x)dx+h(f(x))f(x)|(0,h(b))-∫(0,h(b)) f(x)dh(f(x))
=∫(0,a)f(x)dx+xf(x)|(0,h(b))-∫(0,h(b))f(x)dx
=h(b)f(h(b))+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx
=bh(b)+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx
i)当h(b)=a,有∫(0,a)f(x)dx+∫(0,b)h(x)dx=ab

ii)当h(b)<a,bh(b)+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx
=bh(b)+∫(h(b),a) f(x)dx>bh(b)+f(h(b))[a-h(b)]=bh(b)+b[a-h(b)]=ab

iii)当h(b)>a,bh(b)+∫(0,a)f(x)dx)-∫(0,h(b))f(x)dx=bh(b)-∫(a,0)f(x)dx-∫(0,h(b)) f(x)dx
=bh(b)-∫(a,h(b)) f(x)dx>bh(b)-f(h(b))[h(b)-a]=bh(b)-b[h(b)-a]=ab

因此∫(0,a) f(x)dx+∫(0,b) h(x)dx>=ab,(a>=0，b>=0)命题成立。

【注：紧跟积分符号后面的为积分区间】