Question

在三角形ABC中,若b的平方sinC+c的平方sinB=2bccosBcosC试判断三角形ABC的形状

Answer 1

根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
sinC/c=sinB/b
b²sin²C+c²sin²B=2bccosBcosC
bsinC/c+csinB/b=2cosBcosC
bsinB/b+csinC/c=2cosBcosC
sinB+sinC=2cosBcosC
根据三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和
即a=ccosB+bcosC
a²=(ccosB+bcosC)²
=c²cos²B+b²cos²C+2bccosBcosC
=c²cos²B+b²cos²C+b²sinC+c²sinB
=c²(cos²B+sinB)+b²(cos²C+sinC)
三角形ABC是任意三角形

当b²sin²C+c²sin²B=2bccosBcosC
根据三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和
即a=ccosB+bcosC
a²=(ccosB+bcosC)²
=c²cos²B+b²cos²C+2bccosBcosC
=c²cos²B+b²cos²C+b²sin²C+c²sin²B
=c²(cos²B+sin²B)+b²(cos²C+sin²C)
=c²+b²
三角形ABC是直角三角形

Answer 2

根据正弦定理，原式可化为sin^2Bsin^2C+sin^2Csin^2B=2sinBsinCcosBcosC
2sin^2Csin^2B=2sinBsinCcosBcosC
sinBsinC=cosBcosC
cosBcosC-sinBsinC=0
cos(B+C)=0
B+C=90度，所以A=90度
所以是直角三角形