Question

设函数f(x)=(1+x)^2-2ln(1+x),当0<a<2时，求函数g(x)=f(x)-x^2-ax-1的极值

Answer 1

f'(x)=2(x+1)-2/(x+1)-2x-a
令f'=0
解出 a=2x/x+1
因为 0 <a<2
所以x>0
所以x=a/2-a取得极值
然好再讨论增减性
容易得知：
在x∈（0，a/2-a]为单调递减函数
在x∈[a/2-a,+∞ )为单调递增函数
所以得出x=a/2-a式取得最小值

Answer 2

解：（Ⅰ）∵f′(x)=2(x+1)-2 x+1 =2x(x+2) x+1 .（2分）
由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0；由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．
又∵f（x）定义域为（-1，+∞），
∴所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-1，0）（5分）
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-x2-ax-1
即g（x）=2x-ax-2ln（1+x），g′(x)=2-a-2/( x+1) =(2-a)x-a/( x+1) （7分）
令g'（x）=0由0＜a＜2及x＞-1，得x=a /2-a且当x=a /2-a 时f（x）取得极小值．（8分）
∵求f（x）在区间[0，3]上最小值
∴只需讨论a/ 2-a 与3的大小
①当0＜a＜3/ 2 时a/ 2-a ＜3
所以函数g（x）在[0，3]上最小值为g(a/ 2-a )=a-2ln2 /2-a （10分）
②当a=3 /2 时a /2-a =3
所以函数g（x）在[0，3]上最小值为g(3)=3 /2 -4ln2（11分）
③当a＞3 /2 时a/ 2-a ＞3
所以函数g（x）在[0，3]上最小值为g（3）=3 /2 -4ln2（13分）
所以，综上可知当0＜a＜3 /2 时，函数g（x）在[0，3]上最小值为a-2ln2 /2-a ；
当a≥3 /2 时，函数g（x）在[0，3]上最小值为3/ 2 -4ln2．（14分）

Answer 3

解：
g(x)=(1+x)²-2ln(1+x)-x²-ax-1
g′(x)=2x+2-2/(1+x)-2x-a=-2/(1+x)-a+2=0
∴x=a/(2-a)
∴g(x)极值为g(a/(2-a))=a-2ln(2/(2-a))=a+2ln(2-a)-2ln2

Answer 4

g(x)=f(x)-x^2-ax-1=x²+2x+1-2ln(1+x)-x²-ax-1=(2-a)x-2ln(1+x)
对原函数求导，g‘(X)=2-a-1/(1+x)²
剩下的自己做吧，我要去上课了，有什么疑问可以追问，下午再答。