Question

讨论f(x,y)=xy/x^2+y^2当(x,y)趋于(0,0)时是否存在极限，课本里的解释我看不懂，请帮我看一下

Answer 1

(x,y)要以任意方式趋近(0,0)时,f(x,y)的极限均一致时,f(x,y)的极限才存在
这里的"(x,y)要以任意方式趋近"可以理解为"动点(x,y)沿任意曲线y=y(x)趋近"
简单起见,就用直线就好了,即y=kx,k为任意实数
lim[x->0,y->]f(x,y)=lim[x->0,y->0]xy/(x²+y²)
=lim[x->0]kx²/(x²+k²x²)=k/(1+k²)
可见lim[x->0,y->0]f(x,y)的值与k的取值有关,不符合"f(x,y)的极限均一致"
所以lim[x->0,y->0]f(x,y)不存在

Answer 2

f(x,y)=xy/x^2+y^2 可写成 f(x,y)=y/x+y^2 而当(x,y)趋于(0,0)时 y/x=1 y^2=0 故当(x,y)趋于(0,0）时f(x,y)=xy/x^2+y^2=y/x+y^2=1 故其极限存在