Question

世上最难函数题

求函数y=更号(x~2+1)+更号[（4-x)~2+4]的最小值。
（提示，用纯几何方法做！）

Answer 1

y=√[(x-0)²+(0+1)²]+√[(x-4)²+(0-2)²]
则y是x轴上的P(x,0)到两点A(0,-1),B(4,2)的距离和
则显然APB在一直线且P在AB之间时，PA+PB最小
最小值就是AB
所以最小值=√[(0-4)²+(-1-2)²]=5

Answer 2

作直线AB，使线段AB的长度为4。
作线段AC垂直于AB,使AC长为2.作线段BD垂直于AB，并且使点D与C在AB的异侧，并且使BD＝1。
在直线AB上任取一点E,显然有CE+DE>=CD成立。
依照作法，可以知道线段和线段相交于一点E'。
显然,当仅当C,E,D共线，也就是E和E'重合时等号成立。
这个CD的长就是AC+BD的最小值.
设BE'=x，那么，直角△DBE’中：
DE'=根号下（BD^2+BE’^2）=根号下（1^2+x^2）=根号下（x^2+1）
同样在直角△DAE中：
E'C=根号下(AE'^2+AC^2)=根号下[(4-x)^2+2^2]=根号下[(4-x)^2+4]
在直角△CMD中有：
MC=MA+AC=BD+AC=1+2=3;BM=AB=4
CD=根号下(MC^2+MB^2)=根号下(3^2+4^2)=5
所以y=根号下(x^2+1)+根号下[(4-x)^2+4]的最小值是CD=5。

Answer 3

y=√[(x-0)²+(0+1)²]+√[(x-4)²+(0-2)²]
则y是x轴上的P(x,0)到两点A(0,-1),B(4,2)的距离和
则显然APB在一直线且P在AB之间时，PA+PB最小
最小值就是AB

Answer 4

作直线AB，使线段AB的长度为4。
作线段AC垂直于AB,使AC长为2.作线段BD垂直于AB，并且使点D与C在AB的异侧，并且使BD＝1。
在直线AB上任取一点E,显然有CE+DE>=CD成立。
依照作法，可以知道线段和线段相交于一点E'。
显然,当仅当C,E,D共线，也就是E和E'重合时等号成立。
这个CD的长就是AC+BD的最小值.
设BE'=x，那么，直角△DBE’中：
DE'=根号下（BD^2+BE’^2）=根号下（1^2+x^2）=根号下（x^2+1）
同样在直角△DAE中：
E'C=根号下(AE'^2+AC^2)=根号下[(4-x)^2+2^2]=根号下[(4-x)^2+4]
在直角△CMD中有：
MC=MA+AC=BD+AC=1+2=3;BM=AB=4
CD=根号下(MC^2+MB^2)=根号下(3^2+4^2)=5
所以y=根号下(x^2+1)+根号下[(4-x)^2+4]的最小值是CD=5。

Answer 5

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