Question

急，急，急，急，急，急快答

已知X轴上有两点A(x1,0)，B(x2,0)，在Y轴上有一点C，x1、x2是方程x^2-m^2x-5=0的两个根，且x1^2+x2^2=26，△ABC的面积是9.
(1)求A,B,C三点的坐标
(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式

Answer 1

x1，x2是常数，就像a，b，m，n，p，q……一样
【x1、x2是方程x^2-m^2x-5=0的两个根】表示当x=x1或x2时，方程成立
换句话说，就是常数x1满足（x1）²-m²（x1）-5=0，常数x2满足（x2）²-m²（x2）-5=0
希望你能理解。理解了这个，后面的问题就迎刃而解了。

【∵x1+x2=m^2，x1·x2=-5】叫做韦达定理
它的标准形式是关于x的方程ax²+bx+c=0 （a≠0）
设它的两根分别为x1，x2（当然也可设为m，n或p，q等字母）
则有x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a
其实这个很好证
由二次方程求根公式，x=（-b±√Δ）/（2a） 其中Δ=b²-4ac
不妨设x1=（-b+√Δ）/（2a），x2=（-b-√Δ）/（2a）
∴x1+x2=[-b+√Δ+（-b-√Δ）]/(2a)=-b/a
x1×x2=(-b+√Δ)(-b-√Δ)/[(2a)²]=（b²-Δ）/（4a²）=（4ac）/（4a²）=c/a

这个定理可以推广到n次整式方程
a0x^n+a1x^(n-1)+……+a（n-1）x+an=0
则有x1+x2+……+xn=-a1/a0
x1x2+x1x3+……+x2x3+x2x4+……+x（n-1）xn=a2/a0
x1x2x3+x1x2x4+……+x1x3x4+x1x3x5+……+x2x3x4+x2x3x5+……+x（n-2）x（n-1）xn=-a3/a0
……
x1x2x3……xn=（-1）^n ×an/a0
这个定理你就不用管怎么证了

再说这个问题
由韦达定理，x1+x2=m^2，x1·x2=-5
∴（x1+x2）²=m^4，2x1x2=-10
即x1²+2x1x2+x2²=m^4，
又已知x1^2+x2^2=26
整体代入得，26-10=m^4，m²为4或-4（-4不能舍，因为m可能不是实数）
∴原方程化为x²-4x-5=0 或 x²+4x-5=0
解第一个方程，x1=5，x2=-1或x1=-1，x2=5
∴A（5，0），B（-1，0）或A（-1，0），B（5，0）
∴AB=6
又直角坐标系中AB⊥OC
∴S△ABC=½AB×OC
∴OC=3
∴c（0，3）或C（0，-3）
设过A，B，C的抛物线为y=a（x-x1）（x-x2）
将A，B，C分别代入，共有两组解，分别为
y=-3/5（x-5）（x+1）
y=3/5（x-5）（x+1）

同理，解第二个方程，
得x1=-5，x2=1 或 x1=1，x2=-5
∴A（-5，0），B（1，0） 或A（1，0），B（-5，0）
类似地，C（0，3）或C（0，-3）
亦可得两解析式
y=-3/5（x+5）（x-1）
y=3/5（x+5）（x-1）
综上（1）A，B，C的坐标有8种组合，分别为
A（5，0），B（-1，0），C（0，3）
A（-1，0），B（5，0），C（0，3）
A（5，0），B（-1，0），C（0，-3）
A（-1，0），B（5，0），C（0，-3）
A（-5，0），B（1，0），C（0，3）
A（1，0），B（-5，0），C（0，3）
A（-5，0），B（1，0），C（0，-3）
A（1，0），B（-5，0），C（0，-3）
（2）抛物线的解析式为
y=-3/5（x-5）（x+1） 第1、2种坐标
y=3/5（x-5）（x+1） 第3、4种坐标
y=-3/5（x+5）（x-1） 第5、6种坐标
y=3/5（x+5）（x-1） 第7、8种坐标