Question

几道高一数学题

α，β为锐角，且sinα-sinβ=-1/2，cosα-cosβ=1/2，则tan（α-β）=_______
若0＜y≤x＜π/2，且tanx=3tany，则x-y的最大值为________
在△ABC中，已知其三内角A，B，C成等差数列，则cosA*cosB的取值范围是________
写下过程，谢谢

Answer 1

1.(sinα-sinβ)*(cosα-cosβ)=-1/4.
sin(α-β)+cos(α-β)=(sinα-sinβ)*(cosα-cosβ)=-1/4
sin(α-β)^2+cos(α-β)^2=1 相当于二元一次方程求解sin(α-β)和cos(α-β）
2.tan(x-y)=(tanx-tany)/(1-tanx*tany)将tanx=3tany代入，令tany=m；
则原式化为tan（x-y)=2/(1/m+3m),运用重要不等式1/m+3m>=2*sqrt(3)，
求得m=sqrt3/3pi,max(x-y)=1/6pi
3.2B=A+C;A+B+C=pi;B=pi/3;cosA*cosB=1/2*cosA; 0<A<2/3pi;
cosA*cosB属于(-1/2,1/2）

Answer 2

由sinα-sinβ =－1/2得（sinα）^2+( sinβ)^2-2sinαsinβ=1/4
同理可得（cosα）^2+( cosβ)^2-2cosαcosβ=1/4
两式相加得1+1-2（sinαsinβ+ cosαcosβ）=2-2cos(α-β)=1/2
所以cos(α-β)=3/4
因为sinα-sinβ =－1/2<0且α，β为锐角
所以-π/2<α-β<0,即tan（α-β）<0
又因为（tan（α-β））^2+1=1/( cos(α-β))^2
所以tan（α-β）=-根号7/3